গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\log_x400=4$ বা, $x^4=400$ বা, $x^4=20^2$ বা, $x^2=20$ [$x>0$]

   $\therefore x=\sqrt{20}=\mathbf{2\sqrt5}$

2. খ)

   $p,q,r$ ক্রমিক সমানুপাতী, তাই $q^2=pr$।

   বামপক্ষ $=p^8q^8r^8\left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$। এখানে $p^8r^8=(pr)^8=(q^2)^8=q^{16}$, তাই $p^8q^8r^8=q^{24}$।

   $\therefore$ বামপক্ষ $=\frac{q^{24}}{p^{12}}+\frac{q^{24}}{q^{12}}+\frac{q^{24}}{r^{12}}=\frac{(q^2)^{12}}{p^{12}}+q^{12}+\frac{(pr)^{12}}{r^{12}}=\frac{(pr)^{12}}{p^{12}}+q^{12}+\frac{(pr)^{12}}{r^{12}}=r^{12}+q^{12}+p^{12}$

   $=p^{12}+q^{12}+r^{12}$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\frac{14}{y}=\frac1m+\frac1n=\frac{m+n}{mn}$ বা, $\frac{y}{7}=\frac{2mn}{m+n}$।

   $\frac{y+7m}{y-7m}=\frac{\frac y7+m}{\frac y7-m}=\frac{2mn+m(m+n)}{2mn-m(m+n)}=\frac{m(m+3n)}{m(n-m)}=\frac{m+3n}{n-m}$

   $\frac{y+7n}{y-7n}=\frac{2mn+n(m+n)}{2mn-n(m+n)}=\frac{n(n+3m)}{n(m-n)}=\frac{n+3m}{m-n}=-\frac{3m+n}{n-m}$

   $\therefore$ বামপক্ষ $=\frac{m+3n-(3m+n)}{n-m}=\frac{2n-2m}{n-m}=\frac{2(n-m)}{n-m}=2$ [$m\neq n$] (দেখানো হলো)