উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ধারাটির ৩য় পদের হর সংশোধিত রূপ (3·6·9) বিবেচনা করে,
ধরি, ধারাটির যোগফল S:
$S = \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12} + \dots \infty$

উভয়পক্ষে 1 যোগ করে পাই,
$1 + S = 1 + \frac{1}{1!} \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \dots \infty$

আমরা জানি,
$(1 - x)^{-n} = 1 + n x + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!} x^3 + \dots$

উভয় ধারা তুলনা করে পাই,
$nx = \frac{1}{3} ...... (i)$
$\frac{n(n+1)}{2!} x^2 = \frac{1 \cdot 3}{2!} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{6} ...... (ii)$

(ii) নং সমীকরণ থেকে,
$\frac{nx(nx + x)}{2} = \frac{1}{6}$
$\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} + x\right)}{2} = \frac{1}{6}$
$\Rightarrow \frac{1}{3} + x = 1$
$\Rightarrow x = \frac{2}{3}$

(i) থেকে,
$n = \frac{1}{3x} = \frac{1}{3 \cdot (2/3)} = \frac{1}{2}$

যেহেতু |x| = 2/3 < 1, তাই দ্বিপদী ধারাটি অভিসারী।
$\therefore 1 + S = (1 - x)^{-n} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow S = \sqrt{3} - 1$

নির্ণেয় যোগফল: $\sqrt{3} - 1$।