$F(x)= ext{cosec } x$ হলে—

i. $\int F(x) \, dx = \ln | ext{cosec } x + ext{cot } x| + c$

ii. $\int F(x) \, dx = \ln | an \frac{x}{2}| + c$

iii. $\int F(x) \, dx = -\ln | ext{cosec } x + ext{cot } x| + c$

নিচের কোনটি সঠিক?

Question

$F(x)=	ext{cosec } x$ হলে—

i. $\int F(x) \, dx = \ln |	ext{cosec } x + 	ext{cot } x| + c$

ii. $\int F(x) \, dx = \ln |	an \frac{x}{2}| + c$

iii. $\int F(x) \, dx = -\ln |	ext{cosec } x + 	ext{cot } x| + c$

নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

গ. ii ও iii

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, $F(x) = 	ext{cosec } x$
আমরা জানি,
$\int 	ext{cosec } x \, dx = \ln |	ext{cosec } x - 	ext{cot } x| + c$

১. $	ext{cosec } x - 	ext{cot } x = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = 	an \frac{x}{2}$
সুতরাং, $\int 	ext{cosec } x \, dx = \ln |	an \frac{x}{2}| + c$ (উক্তি ii সঠিক)।

২. আবার, $(	ext{cosec } x - 	ext{cot } x)(	ext{cosec } x + 	ext{cot } x) = 	ext{cosec}^2 x - 	ext{cot}^2 x = 1$
$\implies 	ext{cosec } x - 	ext{cot } x = \frac{1}{	ext{cosec } x + 	ext{cot } x} = (	ext{cosec } x + 	ext{cot } x)^{-1}$
সুতরাং, $\ln |	ext{cosec } x - 	ext{cot } x| = -\ln |	ext{cosec } x + 	ext{cot } x|$
অতএব, $\int 	ext{cosec } x \, dx = -\ln |	ext{cosec } x + 	ext{cot } x| + c$ (উক্তি iii সঠিক)।

উক্তি i-এ ঋণাত্মক চিহ্ন অনুপস্থিত থাকায় তা ভুল। অতএব, ii ও iii সঠিক।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন