পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে দৈব পরীক্ষার প্রতিটি চেষ্টার ফলাফল কেবল দুটি পরস্পর বর্জনশীল শ্রেণিতে (যেমন: সাফল্য ও ব্যর্থতা) বিভক্ত করা যায় এবং প্রতিটি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা ধ্রুব থাকে, তাকে দ্বিপদী পরীক্ষা বা বার্নৌলি চেষ্টা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসে গড় হলো np এবং ভেদাঙ্ক হলো npq। যেখানে p হলো সাফল্য এবং q হলো বিফলতার সম্ভাবনা (p + q = 1)। যেহেতু সাফল্য ও বিফলতা উভয়েই নিশ্চিত নয় এমন ঘটনা, তাই 0 < q < 1 হয়। ফলে কোনো সংখ্যাকে 1 অপেক্ষা ছোট ধনাত্মক ভগ্নাংশ (q) দ্বারা গুণ করলে গুণফল মূল সংখ্যাটির চেয়ে ছোট হয়। অতএব, np · q < np, অর্থাৎ np > npq। সুতরাং দ্বিপদী বিন্যাসে গড় সর্বদা ভেদাঙ্কের চেয়ে বড় হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে প্যাকেটে বাল্বের সংখ্যা, n = 10
   ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা, p = 15% = 0.15
   ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - p = 1 - 0.15 = 0.85

   ধরি, x হলো প্যাকেটে ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা।
   দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = ⁿCₓ pˣ qⁿ⁻ˣ; x = 0, 1, 2, ..., n

   বড় জোর ১টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব থাকার সম্ভাবনা:
   P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

   এখন,
   P(X = 0) = ¹⁰C₀ (0.15)⁰ (0.85)¹⁰ = 1 × 1 × 0.19687 ≈ 0.1969
   P(X = 1) = ¹⁰C₁ (0.15)¹ (0.85)⁹ = 10 × 0.15 × 0.23162 ≈ 0.3474

   অতএব,
   P(X ≤ 1) = 0.19687 + 0.34743 = 0.5443 (প্রায়)

   সুতরাং, বড় জোর ১টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব থাকার সম্ভাবনা প্রায় 0.5443 বা 54.43%।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   n = 10, p = 0.15, q = 0.85

   দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে:
   বঙ্কিমতাঙ্ক, γ₁ = (q - p) / √(npq)
   সূঁচলতাঙ্ক, γ₂ = (1 - 6pq) / (npq)

   এখানে,
   npq = 10 × 0.15 × 0.85 = 1.275
   √(npq) = √1.275 ≈ 1.1292
   q - p = 0.85 - 0.15 = 0.70
   1 - 6pq = 1 - 6(0.15)(0.85) = 1 - 0.765 = 0.235

   অতএব,
   γ₁ = 0.70 / 1.1292 ≈ 0.6199
   γ₂ = 0.235 / 1.275 ≈ 0.1843
   (বিকল্পভাবে সূঁচলতার পরিমাপক β₂ = 3 + γ₂ = 3 + 0.1843 = 3.1843)

   মন্তব্য:
   ১. যেহেতু γ₁ > 0, সুতরাং বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (অধিকাংশ মান গড়ের বামে অবস্থিত)।
   ২. যেহেতু γ₂ > 0 (বা β₂ > 3), সুতরাং বিন্যাসটি অতি-সূঁচল (Leptokurtic)।