উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ • Military Institute of Science and Technology • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২৩-২০২৪

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

1.

x3+px+q=0\mathrm{x}^{3}+\mathrm{px}+\mathrm{q}=0 সমীকরণের মূলগুলো α,β\alpha, \beta এবং γ\gamma হলে α+βγ2,β+γα2,α+γβ2\frac{\alpha+\beta}{\gamma^{2}}, \frac{\beta+\gamma}{\alpha^{2}}, \frac{\alpha+\gamma}{\beta^{2}} মূলবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণটি গঠন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
x3+px+q=0x^3 + px + q = 0
যেহেতু সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma:
α+β+γ=0\alpha + \beta + \gamma = 0
αβ+βγ+γα=p\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p
αβγ=−q\alpha\beta\gamma = -q

এখন,
α+βγ2=−γγ2=−1γ\frac{\alpha+\beta}{\gamma^2} = \frac{-\gamma}{\gamma^2} = -\frac{1}{\gamma}
β+γα2=−αα2=−1α\frac{\beta+\gamma}{\alpha^2} = \frac{-\alpha}{\alpha^2} = -\frac{1}{\alpha}
α+γβ2=−ββ2=−1β\frac{\alpha+\gamma}{\beta^2} = \frac{-\beta}{\beta^2} = -\frac{1}{\beta}

সুতরাং, নতুন সমীকরণের মূলগুলো হলো −1α,−1β,−1γ-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}, -\frac{1}{\gamma}।
ধরি, y=−1x  ⟹  x=−1yy = -\frac{1}{x} \implies x = -\frac{1}{y}

প্রদত্ত সমীকরণে xx-এর মান বসিয়ে পাই:
(−1y)3+p(−1y)+q=0\left(-\frac{1}{y}\right)^3 + p\left(-\frac{1}{y}\right) + q = 0
  ⟹  −1y3−py+q=0\implies -\frac{1}{y^3} - \frac{p}{y} + q = 0
  ⟹  qy3−py2−1=0\implies qy^3 - py^2 - 1 = 0

অতএব, নির্ণেয় ত্রিঘাত সমীকরণটি হলো:
qx3−px2−1=0qx^3 - px^2 - 1 = 0

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন