গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $1^3+2^3+\dots+10^3=\left\{\frac{10\times11}{2}\right\}^2=55^2=\mathbf{3025}$

2. খ)

   প্রদত্ত শর্ত: $N=\sqrt{\frac{2N}{y}-1}$ থেকে $N^2+1=\frac{2N}{y}$ বা, $y=\frac{2N}{1+N^2}$। (প্রশ্নের চিহ্ন অস্পষ্ট; প্রচলিত আকার $N=\frac{\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y}-\sqrt{1-y}}$ ধরে প্রমাণ করা হলো, $N>1$।)

   $\frac{1+y}{1-y}=\frac{1+N^2+2N}{1+N^2-2N}=\frac{(N+1)^2}{(N-1)^2}$ [$y=\frac{2N}{1+N^2}$ বসিয়ে]

   বা, $\frac{\sqrt{1+y}}{\sqrt{1-y}}=\frac{N+1}{N-1}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y}-\sqrt{1-y}}=\frac{(N+1)+(N-1)}{(N+1)-(N-1)}=\frac{2N}{2}=N$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   ধারা $4+7+10+\dots$-এর $a=4$, $d=3$।

   $S_n=\frac n2\{2\cdot4+(n-1)\cdot3\}=\frac{n(3n+5)}{2}=714$

   বা, $3n^2+5n-1428=0$

   $n=\frac{-5\pm\sqrt{25+4\cdot3\cdot1428}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{17161}}{6}=\frac{-5\pm131}{6}$

   $n=21$ বা $n=-\frac{68}{3}$; পদসংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হওয়ায় $n=\mathbf{21}$