পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির মানসমূহ থেকে এদের গাণিতিক গড় বা অন্য কোনো নির্দিষ্ট মান হতে ব্যবধানের বিভিন্ন ঘাতের গড় মানকে পরিঘাত (Moment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশনের মানসমূহ হতে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের দ্বিতীয় ঘাতের গড় মানকে দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ₂) বলে।

   অবিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রে,
   μ₂ = (1/n) ∑(xᵢ - x̄)²

   আবার, কোনো তথ্যসারির মানসমূহ হতে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বর্গের গড় মানকে ভেদাঙ্ক (σ²) বলা হয়।
   অর্থাৎ, ভেদাঙ্ক, σ² = (1/n) ∑(xᵢ - x̄)²

   উভয় সূত্রের গাণিতিক রূপ এবং তাৎপর্য একই হওয়ায় স্পষ্টতই প্রতীয়মান হয় যে, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান ভেদাঙ্কের সমান (μ₂ = σ²)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত মানসমূহ: 70, 66, 80, 68, 86, 75, 73
   মোট মানসংখ্যা, n = 7

   প্রথমে গাণিতিক গড় (x̄) নির্ণয় করি:
   ∑xᵢ = 70 + 66 + 80 + 68 + 86 + 75 + 73 = 518
   x̄ = ∑xᵢ / n = 518 / 7 = 74

   এখন ৩য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ₃) নির্ণয়ের সারণি তৈরি করি:

   xᵢ | (xᵢ - 74) | (xᵢ - 74)³
   70 | -4 | -64
   66 | -8 | -512
   80 | 6 | 216
   68 | -6 | -216
   86 | 12 | 1728
   75 | 1 | 1
   73 | -1 | -1
   মোট | ∑(xᵢ - 74) = 0 | ∑(xᵢ - 74)³ = 1152

   আমরা জানি, ৩য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   μ₃ = (1/n) ∑(xᵢ - x̄)³
   = 1152 / 7 ≈ 164.57

   সুতরাং, ৩য় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান প্রায় 164.57।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সূঁচালতাঙ্ক (β₂) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
   β₂ = μ₄ / (μ₂)²

   এর জন্য ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ₂) এবং ৪র্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ₄) নির্ণয় করতে হবে। গড় x̄ = 74।

   গণনা সারণি:
   xᵢ | (xᵢ - 74) | (xᵢ - 74)² | (xᵢ - 74)⁴
   70 | -4 | 16 | 256
   66 | -8 | 64 | 4096
   80 | 6 | 36 | 1296
   68 | -6 | 36 | 1296
   86 | 12 | 144 | 20736
   75 | 1 | 1 | 1
   73 | -1 | 1 | 1
   মোট | 0 | 298 | 27682

   এখানে,
   μ₂ = (1/n) ∑(xᵢ - x̄)² = 298 / 7 ≈ 42.5714
   μ₄ = (1/n) ∑(xᵢ - x̄)⁴ = 27682 / 7 ≈ 3954.5714

   অতএব, সূঁচালতাঙ্ক:
   β₂ = μ₄ / (μ₂)²
   = 3954.5714 / (42.5714)²
   = 3954.5714 / 1812.324
   ≈ 2.18

   (অথবা সূঁচালতাঙ্ক γ₂ = β₂ - 3 = 2.18 - 3 = -0.82)

   মন্তব্য:
   যেহেতু β₂ < 3 (বা γ₂ < 0), তাই প্রদত্ত নম্বরসমূহের বিন্যাসটি অনতিসূঁচালো বা চ্যাপ্টা-শীর্ষবিশিষ্ট (Platykurtic)। অর্থাৎ সাধারণ পরিমিত বিন্যাসের তুলনায় এর শীর্ষভাগ কম সূঁচালো।