নিম্নের অসীম ধারাটির যোগফল নির্ণয় কর। $\frac{1}{1!} + \frac{5}{2!} + \frac{9}{3!} + \frac{13}{4!} +$ $\dots$

Question

Accepted Answer

খ. 3 + e

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত অসীম ধারাটি হলো:
$$S = \frac{1}{1!} + \frac{5}{2!} + \frac{9}{3!} + \frac{13}{4!} + \dots$$
লবের পদগুলো $1, 5, 9, 13, \dots$ সমান্তর ধারায় আছে, যার $n$-তম পদ $T_n = 1 + (n-1)4 = 4n - 3$।
অতএব, ধারার $n$-তম পদ:
$$u_n = \frac{4n - 3}{n!}$$
যোগফল:
$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n - 3}{n!} = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} - 3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$$
$$= 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} - 3 (e - 1)$$
যেহেতু $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots = e$ এবং $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$,
$$S = 4e - 3(e - 1) = 4e - 3e + 3 = 3 + e$$
সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 2।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন