পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির অশূন্য ধনাত্মক মানগুলোর উল্টো মানসমূহের গাণিতিক গড়ের উল্টো মানকে তরঙ্গ গড় বা বিপরীত গড় (Harmonic Mean) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সময় তথ্যসারির প্রতিটি মানের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়। ফলে তথ্যসারিতে যদি অত্যন্ত ক্ষুদ্র বা অত্যন্ত বৃহৎ কোনো অস্বাভাবিক প্রান্তিক মান উপস্থিত থাকে, তবে তা সমগ্র সমষ্টির মানকে ব্যাপকভাবে বাড়িয়ে বা কমিয়ে দেয়। ফলে নির্ণীত গাণিতিক গড় তথ্যের প্রকৃত বৈশিষ্ট্যের সঠিক প্রতিনিধিত্ব করতে পারে না। এজন্য বলা হয়, গাণিতিক গড় তথ্যের চরম বা প্রান্তিক মান দ্বারা প্রভাবিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত মানগুলো হলো:
   $x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = 8, x_4 = 16, x_5 = 32$
   এখানে মোট পদসংখ্যা, $n = 5$

   গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 8 + 16 + 32}{5} = \frac{62}{5} = 12.4$

   এখন, গাণিতিক গড় থেকে মানগুলোর বিচ্যুতি সমূহের সমষ্টি:
   $\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x}) = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + (x_4 - \bar{x}) + (x_5 - \bar{x})$
   $= (2 - 12.4) + (4 - 12.4) + (8 - 12.4) + (16 - 12.4) + (32 - 12.4)$
   $= (-10.4) + (-8.4) + (-4.4) + 3.6 + 19.6$
   $= -23.2 + 23.2 = 0$

   (উল্লেখ্য, গাণিতিক গড়ের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী তথ্যসারির মানসমূহ হতে তাদের গাণিতিক গড়ের বিচ্যুতিসমূহের সমষ্টি সর্বদা শূন্য হয়)।

   অতএব, নির্ণেয় মান $0$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে পাঁচ বন্ধুর ব্যবসায় লাভের মানগুলো হলো: $2, 4, 8, 16, 32$ (লক্ষ টাকায়)।

   মানগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়:
   $\frac{4}{2} = 2, \frac{8}{4} = 2, \frac{16}{8} = 2, \frac{32}{16} = 2$
   অর্থাৎ, তথ্যসারির মানগুলো গুণোত্তর প্রগমনে (Geometric progression) রয়েছে।

   এখন, গাণিতিক গড় (AM):
   $\bar{x} = \frac{2 + 4 + 8 + 16 + 32}{5} = \frac{62}{5} = 12.4$ লক্ষ টাকা।

   জ্যামিতিক গড় (GM):
   $GM = (2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32)^{\frac{1}{5}}$
   $= (2^1 \times 2^2 \times 2^3 \times 2^4 \times 2^5)^{\frac{1}{5}}$
   $= (2^{1+2+3+4+5})^{\frac{1}{5}} = (2^{15})^{\frac{1}{5}} = 2^3 = 8$ লক্ষ টাকা।

   বিশ্লেষণ:
   ১. তথ্যসারির মানগুলো গুণোত্তর হারে পরিবর্তিত হচ্ছে (অনুপাত নির্দিষ্ট)। গুণোত্তর প্রগমনে থাকা তথ্যের ক্ষেত্রে জ্যামিতিক গড় সবচেয়ে যুক্তিযুক্ত ও নির্ভরযোগ্য পরিমাপক।
   ২. গাণিতিক গড় ($12.4$) প্রান্তিক বড় মান ($32$) দ্বারা অধিক প্রভাবিত হওয়ায় কেন্দ্রীয় অবস্থানের প্রকৃত চিত্র তুলে ধরতে পারছে না, যেখানে তথ্যসারির ৩টি মানই $12.4$ এর চেয়ে অনেক ছোট। কিন্তু জ্যামিতিক গড় ($8$) ঠিক তথ্যসারির মাঝামাঝি অবস্থানের সঠিক প্রতিনিধিত্ব করছে।

   সুতরাং, পাঁচ বন্ধুর মুনাফার কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপে গাণিতিক গড় অপেক্ষা জ্যামিতিক গড়ই উত্তম।