উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[pp+1p+1p+1pp+1p+1p+1p]A=\left[\begin{array}{ccc}p & p+1 & p+1 \\ p+1 & p & p+1 \\ p+1 & p+1 & p\end{array}\right]

  1. ক)

    বিস্তার না করে ∣123456678∣\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 7 & 8\end{array}\right| এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে A2−7 A−8I3\mathrm{A}^{2}-7 \mathrm{~A}-8 \mathrm{I}_{3} নির্ণয় কর; যখন p=2\mathrm{p}=2.

    (4)
  3. গ)

    AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে নির্ণায়কের সাহায্যে ' X\mathrm{X} ' নির্ণয় কর;
    যেখান p=1,B=[11109]p=1, B=\left[\begin{array}{c}11 \\ 10 \\ 9\end{array}\right].

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, D=∣123456678∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 7 & 8 \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করে, C1′=C1−C2C'_1 = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C'_2 = C_2 - C_3:
    D=∣1−22−334−55−666−77−88∣=∣−1−13−1−16−1−18∣D = \begin{vmatrix} 1-2 & 2-3 & 3 \\ 4-5 & 5-6 & 6 \\ 6-7 & 7-8 & 8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 6 \\ -1 & -1 & 8 \end{vmatrix}

    যেহেতু প্রথম কলাম (C1′C'_1) ও দ্বিতীয় কলাম (C2′C'_2) হুবহু সর্বসম (identical), তাই নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী এর মান শূন্য (00)।

    অতএব, নির্ণায়কটির মান = 0।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যখন p=2p = 2, তখন
    A=[233323332]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}

    এখন,
    A2=A×A=[233323332][233323332]A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}
    =[4+9+96+6+96+9+66+6+99+4+99+6+66+9+69+6+69+9+4]=[222121212221212122]= \begin{bmatrix} 4+9+9 & 6+6+9 & 6+9+6 \\ 6+6+9 & 9+4+9 & 9+6+6 \\ 6+9+6 & 9+6+6 & 9+9+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & 21 & 21 \\ 21 & 22 & 21 \\ 21 & 21 & 22 \end{bmatrix}

    7A=7[233323332]=[142121211421212114]7A = 7 \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 21 & 21 \\ 21 & 14 & 21 \\ 21 & 21 & 14 \end{bmatrix}

    8I3=8[100010001]=[800080008]8I_3 = 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A2−7A−8I3=[222121212221212122]−[142121211421212114]−[800080008]A^2 - 7A - 8I_3 = \begin{bmatrix} 22 & 21 & 21 \\ 21 & 22 & 21 \\ 21 & 21 & 22 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 14 & 21 & 21 \\ 21 & 14 & 21 \\ 21 & 21 & 14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}
    =[22−14−821−21−021−21−021−21−022−14−821−21−021−21−021−21−022−14−8]=[000000000]=O= \begin{bmatrix} 22-14-8 & 21-21-0 & 21-21-0 \\ 21-21-0 & 22-14-8 & 21-21-0 \\ 21-21-0 & 21-21-0 & 22-14-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যখন p=1p = 1, তখন
    A=[122212221]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}, B=[11109]B = \begin{bmatrix} 11 \\ 10 \\ 9 \end{bmatrix}

    ধরি, X=[xyz]X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
    তাহলে AX=BAX = B সমীকরণ জোটটি হলো:
    x+2y+2z=11x + 2y + 2z = 11
    2x+y+2z=102x + y + 2z = 10
    2x+2y+z=92x + 2y + z = 9

    ক্রেমারের নিয়ম (নির্ণায়কের সাহায্যে):
    D=∣122212221∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}
    =1(1−4)−2(2−4)+2(4−2)= 1(1 - 4) - 2(2 - 4) + 2(4 - 2)
    =1(−3)−2(−2)+2(2)=−3+4+4=5≠0= 1(-3) - 2(-2) + 2(2) = -3 + 4 + 4 = 5 \neq 0

    Dx=∣11221012921∣D_x = \begin{vmatrix} 11 & 2 & 2 \\ 10 & 1 & 2 \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix}
    =11(1−4)−2(10−18)+2(20−9)= 11(1 - 4) - 2(10 - 18) + 2(20 - 9)
    =11(−3)−2(−8)+2(11)=−33+16+22=5= 11(-3) - 2(-8) + 2(11) = -33 + 16 + 22 = 5

    Dy=∣11122102291∣D_y = \begin{vmatrix} 1 & 11 & 2 \\ 2 & 10 & 2 \\ 2 & 9 & 1 \end{vmatrix}
    =1(10−18)−11(2−4)+2(18−20)= 1(10 - 18) - 11(2 - 4) + 2(18 - 20)
    =1(−8)−11(−2)+2(−2)=−8+22−4=10= 1(-8) - 11(-2) + 2(-2) = -8 + 22 - 4 = 10

    Dz=∣12112110229∣D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 1 & 10 \\ 2 & 2 & 9 \end{vmatrix}
    =1(9−20)−2(18−20)+11(4−2)= 1(9 - 20) - 2(18 - 20) + 11(4 - 2)
    =1(−11)−2(−2)+11(2)=−11+4+22=15= 1(-11) - 2(-2) + 11(2) = -11 + 4 + 22 = 15

    সুতরাং,
    x=DxD=55=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{5}{5} = 1
    y=DyD=105=2y = \frac{D_y}{D} = \frac{10}{5} = 2
    z=DzD=155=3z = \frac{D_z}{D} = \frac{15}{5} = 3

    অতএব, X=[123]X = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন