AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত বৃত্তের পোলার সমীকরণ:r 2 − 4 r cos θ − 4 3 r sin θ + 7 = 0 r^2 - 4r\cos\theta - 4\sqrt{3}r\sin\theta + 7 = 0 r 2 − 4 r cos θ − 4 3 r sin θ + 7 = 0
আমরা জানি, x = r cos θ x = r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y = r\sin\theta y = r sin θ x 2 + y 2 = r 2 x^2 + y^2 = r^2 x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 − 4 x − 4 3 y + 7 = 0 x^2 + y^2 - 4x - 4\sqrt{3}y + 7 = 0 x 2 + y 2 − 4 x − 4 3 y + 7 = 0
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ x 2 + y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0 x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 x 2 + y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0 2 g = − 4 ⇒ g = − 2 2g = -4 \Rightarrow g = -2 2 g = − 4 ⇒ g = − 2 2 f = − 4 3 ⇒ f = − 2 3 2f = -4\sqrt{3} \Rightarrow f = -2\sqrt{3} 2 f = − 4 3 ⇒ f = − 2 3 c = 7 c = 7 c = 7
অতএব, কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ( − g , − f ) = ( 2 , 2 3 ) (-g, -f) = (2, 2\sqrt{3}) ( − g , − f ) = ( 2 , 2 3 )
কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক ( r 0 , θ 0 ) (r_0, \theta_0) ( r 0 , θ 0 ) r 0 = 2 2 + ( 2 3 ) 2 = 4 + 12 = 16 = 4 r_0 = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 r 0 = 2 2 + ( 2 3 ) 2 = 4 + 12 = 16 = 4 θ 0 = tan − 1 ( 2 3 2 ) = tan − 1 ( 3 ) = π 3 বা 60 ∘ \theta_0 = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \text{ বা } 60^\circ θ 0 = tan − 1 ( 2 2 3 ) = tan − 1 ( 3 ) = 3 π বা 6 0 ∘
সুতরাং, কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক: ( 4 , π 3 ) \left(4, \frac{\pi}{3}\right) ( 4 , 3 π ) ( 4 , 60 ∘ ) (4, 60^\circ) ( 4 , 6 0 ∘ )
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, a = g 2 + f 2 − c = ( − 2 ) 2 + ( − 2 3 ) 2 − 7 = 4 + 12 − 7 = 9 = 3 a = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2 - 7} = \sqrt{4 + 12 - 7} = \sqrt{9} = 3 a = g 2 + f 2 − c = ( − 2 ) 2 + ( − 2 3 ) 2 − 7 = 4 + 12 − 7 = 9 = 3
উত্তর: ব্যাসার্ধ 3 3 3 ( 4 , π 3 ) \left(4, \frac{\pi}{3}\right) ( 4 , 3 π )