$\int_{-2}^2 |1 - x^2| dx$ এর মান কত?(What is the value of $\int_{-2}^2 |1 - x^2| dx$?)

Question

Accepted Answer

ঙ. 4

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো:
$$I = \int_{-2}^2 |1 - x^2| dx$$

যেহেতু $f(x) = |1 - x^2|$ একটি যুগল ফাংশন (even function), অর্থাৎ $f(-x) = |1 - (-x)^2| = |1 - x^2| = f(x)$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$I = 2 \int_0^2 |1 - x^2| dx$$

এখন, ব্যবধি $[0, 2]$-কে দুটি অংশে বিভক্ত করি:
১. $0 \le x \le 1$ ব্যবধিতে $1 - x^2 \ge 0$, সুতরাং $|1 - x^2| = 1 - x^2$
২. $1 \le x \le 2$ ব্যবধিতে $1 - x^2 \le 0$, সুতরাং $|1 - x^2| = x^2 - 1$

তাহলে,
$$\int_0^2 |1 - x^2| dx = \int_0^1 (1 - x^2) dx + \int_1^2 (x^2 - 1) dx$$

প্রথম অংশ:
$$\int_0^1 (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} ight]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

দ্বিতীয় অংশ:
$$\int_1^2 (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x ight]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 ight) - \left( \frac{1}{3} - 1 ight) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} ight) = \frac{4}{3}$$

সুতরাং,
$$\int_0^2 |1 - x^2| dx = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$$

অতএব, নির্ণেয় মান:
$$I = 2 	imes 2 = 4$$

সঠিক উত্তর ৫ নম্বর অপশনে রয়েছে।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন