উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\sin^{-1} 2x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{3}$
$\implies \sin^{-1} 2x = \frac{\pi}{3} - \sin^{-1} x$

উভয়পক্ষে sine প্রয়োগ করে পাই,
$2x = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1} x\right)$
$2x = \sin\frac{\pi}{3} \cos(\sin^{-1} x) - \cos\frac{\pi}{3} \sin(\sin^{-1} x)$
$2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} - \frac{1}{2} x$

পক্ষান্তর করে,
$2x + \frac{1}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$
$\frac{5x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$
$5x = \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$25x^2 = 3(1 - x^2)$
$25x^2 = 3 - 3x^2$
$28x^2 = 3$
$x^2 = \frac{3}{28}$
$x = \pm \sqrt{\frac{3}{28}} = \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}$

যেহেতু $\sin^{-1} 2x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{3} > 0$, তাই $x$ এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না ($x < 0$ হলে বামপক্ষ ঋণাত্মক হয়ে যায়)।

$\therefore x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}$