উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $4x^2 + 5y^2 = 1$
   বা, $\frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{5}} = 1$

   এখানে, $a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{2}$
   $b^2 = \frac{1}{5} \implies b = \frac{1}{\sqrt{5}}$
   যেহেতু a > b, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ x-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/5}{1/4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

   অতএব, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $= (\pm ae, 0) = \left(\pm \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) = \left(\pm \frac{1}{2\sqrt{5}}, 0\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী,
   উপকেন্দ্র, S = P(-1, 3)
   শীর্ষবিন্দু, A = Q(4, 3)

   যেহেতু উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দুর কোটি একই (y = 3), তাই পরাবৃত্তের অক্ষরেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর সমীকরণ y = 3।
   এখানে শীর্ষবিন্দু A(h, k) = Q(4, 3), অর্থাৎ h = 4, k = 3।

   অক্ষের দিক শীর্ষ থেকে উপকেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করে।
   সুতরাং, $a = x_S - x_A = -1 - 4 = -5$

   অতএব, পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(y - k)^2 = 4a(x - h)$
   বা, $(y - 3)^2 = 4(-5)(x - 4)$
   বা, $(y - 3)^2 = -20(x - 4)$
   বা, $y^2 - 6y + 9 = -20x + 80$
   বা, $y^2 + 20x - 6y - 71 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প অনুযায়ী,
   উপকেন্দ্র S = R(1, -1)
   নিয়ামক রেখার সমীকরণ: x - 2y + 2 = 0
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   উপবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x, y) হলে, সংজ্ঞা অনুসারে:
   $SP = e \cdot PM$
   বা, $SP^2 = e^2 \cdot PM^2$

   এখানে,
   $SP^2 = (x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = (x - 1)^2 + (y + 1)^2$
   $PM = \frac{|x - 2y + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|x - 2y + 2|}{\sqrt{5}}$

   সুতরাং,
   $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{(x - 2y + 2)^2}{5}$
   বা, $(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2 + 4y^2 + 4 - 4xy - 8y + 4x}{5}$
   বা, $15(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2) = x^2 + 4y^2 - 4xy + 4x - 8y + 4$
   বা, $15x^2 + 15y^2 - 30x + 30y + 30 = x^2 + 4y^2 - 4xy + 4x - 8y + 4$
   বা, $14x^2 + 4xy + 11y^2 - 34x + 38y + 26 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $14x^2 + 4xy + 11y^2 - 34x + 38y + 26 = 0$।