x=a(t+sin t),y=a(1-cost) হলে $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ এর মান কোনটি?

Question

Accepted Answer

ক. $\frac{a}{\left ( 2 a - y ight )^{2}}$

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, $x = a(t + \sin t)$ এবং $y = a(1 - \cos t)$
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$
$\frac{dy}{dt} = a\sin t$
$	herefore \frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\cos^2(t/2)} = 	an(t/2)$

এখন, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(	an\frac{t}{2}ight) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{t}{2}ight) \cdot \frac{1}{a(1+\cos t)}$
$= \frac{1}{2\cos^2(t/2) \cdot 2a\cos^2(t/2)} = \frac{1}{4a\cos^4(t/2)}$

আমরা জানি, $y = a(1 - \cos t) = 2a\sin^2(t/2)$
$\implies 2a - y = 2a - a(1 - \cos t) = a(1 + \cos t) = 2a\cos^2(t/2)$
$\implies \cos^2(t/2) = \frac{2a - y}{2a}$
$\implies \cos^4(t/2) = \frac{(2a - y)^2}{4a^2}$

অতএব, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a \cdot \frac{(2a-y)^2}{4a^2}} = \frac{a}{(2a - y)^2}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন