উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: x³ + (p² - 3)x - (p + 2) = 0
   এখানে x² এর সহগ = 0।
   যেহেতু সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা, তাই একটি জটিল মূল (-1 + iP) হলে অপর একটি জটিল মূল এর অনুবন্ধী, অর্থাৎ (-1 - iP) হবে।
   ধরি, তৃতীয় মূলটি γ।
   মূলত্রয়ের যোগফল:
   (-1 + iP) + (-1 - iP) + γ = 0
   ⇒ -2 + γ = 0
   ⇒ γ = 2

   যেহেতু x = 2 সমীকরণটির একটি মূল, তাই x = 2 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
   2³ + (p² - 3)(2) - (p + 2) = 0
   ⇒ 8 + 2p² - 6 - p - 2 = 0
   ⇒ 2p² - p = 0
   ⇒ p(2p - 1) = 0
   যদি p = 0 হয়, তবে মূলগুলো বাস্তব হয়ে যায় (-1 ± 0 = -1), যা জটিল থাকে না। সুতরাং p ≠ 0।
   অতএব, 2p - 1 = 0 ⇒ p = 1/2।

   p = 1/2 হলে অপর জটিল মূল দুটি:
   -1 ± i(1/2) = -1 ± i/2।

   অতএব, সমীকরণটির মূল তিনটি হলো: 2, -1 + i/2, -1 - i/2।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুটি:
   2mx² + nx + 1 = 0 ... (i)
   nx² + 2mx + 1 = 0 ... (ii)

   ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি হলো α।
   তাহলে,
   2mα² + nα + 1 = 0 ... (iii)
   nα² + 2mα + 1 = 0 ... (iv)

   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
   α² / (n - 2m) = α / (n - 2m) = 1 / (4m² - n²)

   প্রথম দুটি অনুপাত থেকে:
   α² / (n - 2m) = α / (n - 2m)
   যেহেতু একটিমাত্র সাধারণ মূল বিদ্যমান এবং সমীকরণ দুটি অভিন্ন নয়, তাই 2m ≠ n, অর্থাৎ (n - 2m) ≠ 0।
   অতএব, α = 1।

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে অথবা α = 1 মানটি (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   2m(1)² + n(1) + 1 = 0
   ⇒ 2m + n + 1 = 0
   (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ:
   x³ + px² + qx + r = 0
   যার মূলত্রয় α, β, γ।

   মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে:
   α + β + γ = -p
   αβ + βγ + γα = q
   αβγ = -r

   এখন,
   Σ(α - β)² = (α - β)² + (β - γ)² + (γ - α)²
   = (α² - 2αβ + β²) + (β² - 2βγ + γ²) + (γ² - 2γα + α²)
   = 2(α² + β² + γ²) - 2(αβ + βγ + γα)
   = 2[(α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)] - 2(αβ + βγ + γα)
   = 2(α + β + γ)² - 4(αβ + βγ + γα) - 2(αβ + βγ + γα)
   = 2(α + β + γ)² - 6(αβ + βγ + γα)

   মান বসিয়ে পাই:
   = 2(-p)² - 6(q)
   = 2p² - 6q

   অতএব, নির্ণেয় মান = 2p² - 6q।