উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$

   এখানে, $a^2 = 8 \implies a = 2\sqrt{2}$
   এবং $b^2 = 4 \implies b = 2$

   যেহেতু $a > b$, সুতরাং উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
   অতএব, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2a = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ হতে পাই,
   উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, $S \equiv (-2, 3)$
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$
   এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x + 2y - 1 = 0$

   মনে করি, উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু $P(x, y)$।
   $P$ বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব $PM$ হলে,
   $PM = \frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{5}}$

   কণিকের সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = e \cdot PM$
   $\implies SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   $\implies (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
   $\implies (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = \frac{1}{15} (x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 4y - 2x)$
   $\implies 15(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13) = x^2 + 4xy + 4y^2 - 2x - 4y + 1$
   $\implies 15x^2 + 15y^2 + 60x - 90y + 195 = x^2 + 4xy + 4y^2 - 2x - 4y + 1$
   $\implies 14x^2 - 4xy + 11y^2 + 62x - 86y + 194 = 0$

   নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $14x^2 - 4xy + 11y^2 + 62x - 86y + 194 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
   সুতরাং, অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{অথবা} \quad \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

   উদ্দীপক-২ হতে,
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{3}$
   উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 2ae = 18$
   $\implies ae = 9$
   $\implies a \cdot \sqrt{3} = 9$
   $\implies a = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$
   $\implies a^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$

   আমরা জানি,
   $b^2 = a^2(e^2 - 1)$
   $\implies b^2 = 27((\sqrt{3})^2 - 1) = 27(3 - 1) = 27 \times 2 = 54$

   আর-অক্ষকে $x$-অক্ষ বিবেচনা করলে অধিবৃত্তের সমীকরণ হবে:
   $\frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{54} = 1$
   $\implies 2x^2 - y^2 = 54$

   (অথবা, আর-অক্ষকে $y$-অক্ষ বিবেচনা করলে সমীকরণটি হবে: $\frac{y^2}{27} - \frac{x^2}{54} = 1$ বা $2y^2 - x^2 = 54$)।