$3x - 4y = 12$ এবং $x\cos heta + y\sin heta = p$ সমীকরণদ্বয় একই সরলরেখা নির্দেশ করলে, p এর মান নির্ণয় কর।(Evaluate the value of p if two equations $3x - 4y = 12$ and $x\cos heta + y\sin heta = p$ indicate the same straight line.)

Question

$3x - 4y = 12$ এবং $x\cos	heta + y\sin	heta = p$ সমীকরণদ্বয় একই সরলরেখা নির্দেশ করলে, p এর মান নির্ণয় কর।(Evaluate the value of p if two equations $3x - 4y = 12$ and $x\cos	heta + y\sin	heta = p$ indicate the same straight line.)

Accepted Answer

ক. $\frac{12}{5}$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সরলরেখাটি হলো $3x - 4y = 12$ বা $3x - 4y - 12 = 0$।
সরলরেখার লম্ব বা অভিলম্ব আকার হলো $x\cos	heta + y\sin	heta = p$, যেখানে $p$ হলো মূলবিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব (সুতরাং $p > 0$)।
মূলবিন্দু $(0, 0)$ থেকে $3x - 4y - 12 = 0$ রেখার লম্ব দূরত্ব:
$p = \frac{|3(0) - 4(0) - 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$।
বিকল্পভাবে, সহগ তুলনা করে:
$\frac{\cos	heta}{3} = \frac{\sin	heta}{-4} = \frac{p}{12} = k$
$\cos	heta = 3k, \sin	heta = -4k$
আমরা জানি, $\cos^2	heta + \sin^2	heta = 1$
$\implies (3k)^2 + (-4k)^2 = 1$
$\implies 25k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{5}$ (যেহেতু লম্ব দূরত্ব $p = 12k > 0$)
অতএব, $p = 12k = 12 	imes \frac{1}{5} = \frac{12}{5}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন