উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $6x^2 - 5x - 1 = 0$
   এখানে, $a = 6, b = -5, c = -1$
   সমীকরণটির নিশ্চায়ক, $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
   যেহেতু নিশ্চায়ক $D > 0$ এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা, সেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান এবং মূলদ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১: $ax^3 + bx + c = 0$
   বা, $ax^3 + 0 \cdot x^2 + bx + c = 0$
   মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$।
   $\therefore \alpha + \beta + \gamma = -\frac{0}{a} = 0$
   $\implies \alpha + \beta = -\gamma, \quad \beta + \gamma = -\alpha, \quad \gamma + \alpha = -\beta$

   নির্ণেয় সমীকরণের মূলগুলো হলো:
   $\frac{\gamma^2}{\alpha+\beta} = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma$
   $\frac{\alpha^2}{\beta+\gamma} = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha$
   $\frac{\beta^2}{\gamma+\alpha} = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণের মূলগুলো হলো $-\alpha, -\beta, -\gamma$।
   প্রদত্ত সমীকরণ $ax^3 + bx + c = 0$-এ $x$ এর স্থলে $-x$ বসালেই নির্ণেয় সমীকরণ পাওয়া যাবে:
   $a(-x)^3 + b(-x) + c = 0$
   $\implies -ax^3 - bx + c = 0$
   $\implies ax^3 + bx - c = 0$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২: $(y + ix)^{\frac{1}{3}} = a + ib$
   উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
   $y + ix = (a + ib)^3$
   $\implies y + ix = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$
   $\implies y + ix = a^3 + 3ia^2b - 3ab^2 - ib^3$
   $\implies y + ix = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$

   উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
   $y = a^3 - 3ab^2 = a(a^2 - 3b^2)$
   $x = 3a^2b - b^3 = b(3a^2 - b^2)$

   এখন, বামপক্ষ:
   $= ax + by$
   $= a \cdot b(3a^2 - b^2) + b \cdot a(a^2 - 3b^2)$
   $= ab(3a^2 - b^2) + ab(a^2 - 3b^2)$
   $= ab(3a^2 - b^2 + a^2 - 3b^2)$
   $= ab(4a^2 - 4b^2)$
   $= 4ab(a^2 - b^2)$
   = ডানপক্ষ
   $\therefore ax + by = 4ab(a^2 - b^2)$ (দেখানো হলো)