কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দু 0(0,0,0),P…

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • ভেক্টর • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দু 0(0,0,0),P(2,4,2) 0(0,0,0), P(2,4,2) এবং Q(2,−4,−4)। Q(2,-4,-4) ।

ক)
সমান ভেক্টর কী?
(1)
খ)
ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে- ব্যাখ্যা করো।
(2)
গ)
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এর মান নির্ণয় করো।
(3)
ঘ)
P ও Q এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে কিনা যাচাই কর।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের মান যদি সমান হয় এবং দিক একই দিকে হয়, তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (যেমন ডেল, ∇) যখন কোনো স্কেলার ফাংশনের ওপর প্রযুক্ত হয়, তখন তাকে স্কেলারের গ্র্যাডিয়েন্ট (Gradient) বলা হয়। যেমন, কোনো স্কেলার ক্ষেত্র ϕ হলে, grad ϕ = ∇ϕ = (î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z)ϕ = î (∂ϕ/∂x) + ĵ (∂ϕ/∂y) + k̂ (∂ϕ/∂z)। ফলাফলটি একটি দিক নির্দেশ করে এবং এটি একটি ভেক্টর রাশিতে রূপান্তরিত হয়। এভাবে ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

উদ্দীপক অনুসারে,
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r}_P = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r}_Q = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$

অতএব, $\vec{PQ} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$
$= (2 - 2)\hat{i} + (-4 - 4)\hat{j} + (-4 - 2)\hat{k}$
$= 0\hat{i} - 8\hat{j} - 6\hat{k}$
$= -8\hat{j} - 6\hat{k}$

$\vec{PQ}$ এর মান, $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2}$
$= \sqrt{64 + 36}$
$= \sqrt{100} = 10$ একক।

অতএব, $\vec{PQ}$ এর মান 10 একক।
ঘ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, P⃗ = 2î + 4ĵ + 2k̂
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, Q⃗ = 2î - 4ĵ - 4k̂

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের ডট গুণন শূন্য হয় (P⃗ · Q⃗ = 0)।

এখন ডট গুণন নির্ণয় করি:
P⃗ · Q⃗ = (2)(2) + (4)(-4) + (2)(-4)
= 4 - 16 - 8
= -20

যেহেতু P⃗ · Q⃗ = -20 ≠ 0, সেহেতু P ও Q এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে না।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন