উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

মনে করি, অর্ধ উপবৃত্তাকার সুড়ঙ্গপথটির কেন্দ্র মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে অবস্থিত এবং এর ভূমি $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

সুতরাং, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($y \ge 0$)

এখানে,
ভূমির বিস্তার, $2a = 36\text{ ft} \implies a = 18\text{ ft}$
কেন্দ্রভাগে উচ্চতা, $b = 15\text{ ft}$

অতএব, সুড়ঙ্গপথটির সমীকরণ:
$\frac{x^2}{18^2} + \frac{y^2}{15^2} = 1$

ট্রাকটির প্রস্থ $12\text{ ft}$। ট্রাকটি যাতে সুড়ঙ্গপথের ঠিক মাঝখান দিয়ে নিরাপদে যেতে পারে, সেজন্য কেন্দ্রের উভয় পাশে এর দূরত্ব হবে $\frac{12}{2} = 6\text{ ft}$।
অর্থাৎ, ট্রাকের প্রান্তদ্বয়ের জন্য $x = \pm 6\text{ ft}$।

$x = 6$ হলে,
$\frac{6^2}{18^2} + \frac{y^2}{15^2} = 1$
$\implies \frac{1}{9} + \frac{y^2}{225} = 1$
$\implies \frac{y^2}{225} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$\implies y^2 = 225 \times \frac{8}{9} = 25 \times 8 = 200$
$\implies y = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\text{ ft} \approx 14.142\text{ ft}$

অতএব, ট্রাকটির সর্বোচ্চ উচ্চতা $10\sqrt{2}\text{ ft}$ বা প্রায় $14.14\text{ ft}$ হতে পারবে।