উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^2 + x + 1 = 0$
   এখানে, $a = 2, b = 1, c = 1$
   সমীকরণটির নিশ্চায়ক, $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$
   যেহেতু $D < 0$, সেহেতু মূলদ্বয় জটিল (অবাস্তব) এবং অসমান।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১: $x^2 - bx - c = 0$
   ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\alpha^2$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + \alpha^2 = -(-b) = b \implies \alpha + \alpha^2 = b \quad \dots (1)$
   মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot \alpha^2 = -c \implies \alpha^3 = -c \quad \dots (2)$
   (1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
   $(\alpha + \alpha^2)^3 = b^3$
   $\implies \alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3 \cdot \alpha \cdot \alpha^2 (\alpha + \alpha^2) = b^3$
   $\implies \alpha^3 + (\alpha^3)^2 + 3\alpha^3 (\alpha + \alpha^2) = b^3$
   এখন $\alpha^3 = -c$ এবং $\alpha + \alpha^2 = b$ মান বসিয়ে পাই,
   $-c + (-c)^2 + 3(-c)(b) = b^3$
   $\implies -c + c^2 - 3bc = b^3$
   $\implies b^3 + 3bc + c - c^2 = 0$
   $\implies b^3 + c(3b + 1) - c^2 = 0$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   প্রথম সমীকরণ: $ax^2 + 2bx + c = 0 \quad \dots (1)$
   দ্বিতীয় সমীকরণ: $cx^2 + 2bx + a = 0 \quad \dots (2)$

   শর্তানুসারে, (1) নং সমীকরণের একটি মূল (2) নং সমীকরণের একটি মূলের তিনগুণ।
   ধরি, (2) নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$। তাহলে (1) নং সমীকরণের একটি মূল হবে $3\alpha$।
   অতএব, $3\alpha$ দ্বারা (1) নং এবং $\alpha$ দ্বারা (2) নং সিদ্ধ হবে:
   $a(3\alpha)^2 + 2b(3\alpha) + c = 0 \implies 9a\alpha^2 + 6b\alpha + c = 0 \quad \dots (3)$
   $c\alpha^2 + 2b\alpha + a = 0 \quad \dots (4)$

   (4) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (3) নং থেকে বিয়োগ করি:
   $(9a\alpha^2 + 6b\alpha + c) - 3(c\alpha^2 + 2b\alpha + a) = 0$
   $\implies (9a - 3c)\alpha^2 + (c - 3a) = 0$
   $\implies 3(3a - c)\alpha^2 - (3a - c) = 0$
   $\implies (3a - c)(3\alpha^2 - 1) = 0$

   হয়, $3a - c = 0 \implies c = 3a$
   অথবা, $3\alpha^2 - 1 = 0 \implies \alpha^2 = \frac{1}{3}$

   আবার, বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে (3) ও (4) থেকে পাই:
   $\frac{\alpha^2}{6ab - 2bc} = \frac{\alpha}{c^2 - 9a^2} = \frac{1}{18ab - 2bc}$
   $\implies \alpha = \frac{c^2 - 9a^2}{2b(9a - c)} = -\frac{(3a - c)(3a + c)}{2b(9a - c)}$
   অথবা সরাসরি (4) নং সমীকরণ থেকে পাই, $2b\alpha = -(c\alpha^2 + a)$
   বর্গ করে, $4b^2 \alpha^2 = (c\alpha^2 + a)^2$
   $\alpha^2 = \frac{1}{3}$ বসিয়ে পাই,
   $4b^2 \left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{c}{3} + a\right)^2$
   $\implies \frac{4b^2}{3} = \frac{(c + 3a)^2}{9}$
   $\implies 12b^2 = (c + 3a)^2$

   $\therefore c = 3a$ অথবা $12b^2 = (c + 3a)^2$ (দেখানো হলো)