উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত • Bangladesh University of Engineering and Technology • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

13.

tan⁡θ+tan⁡(π3+θ)+tan⁡(2π3+θ)\tan{\theta} + \tan{\left ( \frac{\pi}{3} + \theta \right )} + \tan{\left ( \frac{2 \pi}{3} + \theta \right )} কে tan3θ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত রাশি,
E=tan⁡θ+tan⁡(π3+θ)+tan⁡(2π3+θ)E = \tan\theta + \tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right) + \tan\left(\frac{2\pi}{3} + \theta\right)

আমরা জানি,
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

যেহেতু tan⁡(π3)=3\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} এবং tan⁡(2π3)=−3\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}:
tan⁡(π3+θ)=3+tan⁡θ1−3tan⁡θ\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right) = \frac{\sqrt{3} + \tan\theta}{1 - \sqrt{3}\tan\theta}
tan⁡(2π3+θ)=−3+tan⁡θ1+3tan⁡θ\tan\left(\frac{2\pi}{3} + \theta\right) = \frac{-\sqrt{3} + \tan\theta}{1 + \sqrt{3}\tan\theta}

উক্ত অংশ দুটি যোগ করে পাই:
tan⁡(π3+θ)+tan⁡(2π3+θ)=(3+tan⁡θ)(1+3tan⁡θ)+(−3+tan⁡θ)(1−3tan⁡θ)1−3tan⁡2θ\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right) + \tan\left(\frac{2\pi}{3} + \theta\right) = \frac{(\sqrt{3} + \tan\theta)(1 + \sqrt{3}\tan\theta) + (-\sqrt{3} + \tan\theta)(1 - \sqrt{3}\tan\theta)}{1 - 3\tan^2\theta}
=(3+4tan⁡θ+3tan⁡2θ)+(−3+4tan⁡θ−3tan⁡2θ)1−3tan⁡2θ= \frac{(\sqrt{3} + 4\tan\theta + \sqrt{3}\tan^2\theta) + (-\sqrt{3} + 4\tan\theta - \sqrt{3}\tan^2\theta)}{1 - 3\tan^2\theta}
=8tan⁡θ1−3tan⁡2θ= \frac{8\tan\theta}{1 - 3\tan^2\theta}

অতএব,
E=tan⁡θ+8tan⁡θ1−3tan⁡2θE = \tan\theta + \frac{8\tan\theta}{1 - 3\tan^2\theta}
=tan⁡θ(1−3tan⁡2θ)+8tan⁡θ1−3tan⁡2θ= \frac{\tan\theta(1 - 3\tan^2\theta) + 8\tan\theta}{1 - 3\tan^2\theta}
=tan⁡θ−3tan⁡3θ+8tan⁡θ1−3tan⁡2θ= \frac{\tan\theta - 3\tan^3\theta + 8\tan\theta}{1 - 3\tan^2\theta}
=9tan⁡θ−3tan⁡3θ1−3tan⁡2θ= \frac{9\tan\theta - 3\tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}
=3(3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ)= 3 \left(\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}\right)
=3tan⁡3θ= 3\tan 3\theta

নির্ণেয় মান: 3tan⁡3θ3\tan 3\theta।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন