k এর সকল বাস্তব মান বের কর যার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ $x^2 + (k-2)x + 1 = 0$ এর দুটি মূল বাস্তব আছে এবং মূলদ্বয়ের পার্থক্য $\sqrt{5}$।(Find all real values of k for which the quadratic equation $x^2 + (k-2)x + 1 = 0$ has two real roots and the difference between the roots is $\sqrt{5}$.)

Question

Accepted Answer

ঘ. 5, -1

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 + (k-2)x + 1 = 0$।
যদি মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হয়, তবে:
$\alpha + \beta = -(k-2) = 2-k$
$\alpha\beta = 1$

মূলদ্বয়ের পার্থক্য $|\alpha - \beta| = \sqrt{5}$ দেওয়া আছে।
আমরা জানি, $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
$\implies (\sqrt{5})^2 = (k-2)^2 - 4(1)$
$\implies 5 = (k-2)^2 - 4$
$\implies (k-2)^2 = 9$
$\implies k - 2 = \pm 3$

সুতরাং,
$k = 2 + 3 = 5$ অথবা $k = 2 - 3 = -1$।
$k$-এর উভয় মানের জন্যই সমীকরণের নিশ্চয়ক $D = (k-2)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$, ফলে মূলদ্বয় বাস্তব।
অতএব, $k = 5, -1$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন