যদি $\alpha$ ও $\beta$ অসমান হয় অথচ $\alpha^2 = 5\alpha - 3$ এবং $\beta^2 = 5\beta - 3$ হয়, তবে $\frac{\alpha}{\beta}$ এবং $\frac{\beta}{\alpha}$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

Question

Accepted Answer

খ. 3x² - 19x+3 = 0

ব্যাখ্যা: যেহেতু $\alpha^2 = 5\alpha - 3 \implies \alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ এবং $\beta^2 = 5\beta - 3 \implies \beta^2 - 5\beta + 3 = 0$, এবং $\alpha 
eq \beta$, তাই $\alpha$ এবং $\beta$ হলো $x^2 - 5x + 3 = 0$ সমীকরণের দুটি মূল।
সুতরাং, মূলদ্বয়ের যোগফল $\alpha + \beta = 5$ এবং গুণফল $\alpha\beta = 3$।
নতুন সমীকরণের মূল দুটি $\frac{\alpha}{\beta}$ ও $\frac{\beta}{\alpha}$।
মূলদ্বয়ের যোগফল, $S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$।
মূলদ্বয়ের গুণফল, $P = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} = 1$।
অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:
$x^2 - Sx + P = 0$
$\implies x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$
$\implies 3x^2 - 19x + 3 = 0$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন