গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   চিত্রে সমকোণী $\triangle ABC$ এ $\angle B=90^\circ$, $\angle C=30^\circ$ এবং $BC=\sqrt3$।

   $\cos C=\dfrac{BC}{AC}$

   বা, $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{AC}$

   বা, $\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{AC}$

   সুতরাং, $AC=\mathbf{2}$ একক।

2. খ)

   এখানে $\dfrac1{\operatorname{cosec}^2A}=\sin^2A$ এবং $\dfrac1{\cot^2A}=\tan^2A$।

   বামপক্ষ $=(2-\sin^2A)^{-1}+(2+\tan^2A)^{-1}$

   $2-\sin^2A=1+(1-\sin^2A)=1+\cos^2A$

   $2+\tan^2A=1+(1+\tan^2A)=1+\sec^2A=\dfrac{\cos^2A+1}{\cos^2A}$

   সুতরাং বামপক্ষ $=\dfrac1{1+\cos^2A}+\dfrac{\cos^2A}{1+\cos^2A}=\dfrac{1+\cos^2A}{1+\cos^2A}=1=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

   (যাচাই: $A=60^\circ$ হলে $\left(2-\frac34\right)^{-1}+(2+3)^{-1}=\frac45+\frac15=1$ ✓)

3. গ)

   চিত্রে $\theta$ কোণের সাপেক্ষে $BC$ বিপরীত বাহু, $AB$ সন্নিহিত বাহু এবং $AC$ অতিভুজ। তাই $\dfrac{BC}{AC}=\sin\theta$ এবং $\dfrac{AB}{AC}=\cos\theta$।

   শর্তমতে, $2\sin^2\theta+3\cos\theta-3=0$

   বা, $2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta-3=0$

   বা, $2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$

   বা, $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$

   $\therefore\cos\theta=\dfrac12$ অথবা $\cos\theta=1$

   $\theta$ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ, তাই $\cos\theta=1$ ($\theta=0^\circ$) গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং $\cos\theta=\dfrac12=\cos60^\circ$, অর্থাৎ $\theta=60^\circ$। (দেখানো হলো)