যদি কোন তেজস্ক্রিয় পদার্থের $\frac{1}{2}$ অংশ ক্ষয় হতে T সময় লাগে তবে $\frac{2}{3}$ অংশ ক্ষয় হতে কত সময় লাগবে?

Question

Accepted Answer

গ. $T \log_2 3$

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে উল্লিখিত ভগ্নাংশগুলো যথাক্রমে $\frac{1}{2}$ এবং $\frac{2}{3}$ অংশ।

তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূত্রানুসারে, অবশিষ্ট পরমাণুর সংখ্যা:
$$N = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

এখানে, $\frac{1}{2}$ অংশ ক্ষয় হতে $T$ সময় লাগে, অর্থাৎ পদার্থটির অর্ধায়ু $T_{1/2} = T$।

পদার্থটির $\frac{2}{3}$ অংশ ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে:
$$N = N_0 - \frac{2}{3}N_0 = \frac{1}{3}N_0$$

সুতরাং,
$$\frac{1}{3}N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$
$$\implies \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = \frac{1}{3}$$
$$\implies 2^{t/T} = 3$$

উভয় পক্ষে base-2 লগারিদম ($\log_2$) নিলে পাই:
$$\frac{t}{T} = \log_2 3$$
$$\implies t = T \log_2 3$$

অতএব, নির্ণেয় সময় $T \log_2 3$ (Option 3)।

পদার্থ বিজ্ঞান ২য় পত্র প্রশ্ন