উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

দেওয়া আছে,
$F(x) = \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \\ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$

অতএব,
$F(x+h) = \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \\ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix}$

বামপক্ষ (L.H.S.):
$F(x+h) - F(x) = \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \\ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \\ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$

ডানপক্ষ (R.H.S.):
$\text{R.H.S.} = \begin{vmatrix} f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \\ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \\ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \end{vmatrix}$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, কোনো কলামের পদগুলো দুটি পদের বিয়োগফল হিসেবে থাকলে নির্ণায়কটিকে দুটি নির্ণায়কের বিয়োগফল আকারে প্রকাশ করা যায়।

প্রথম নির্ণায়কটি ভেঙে পাই:
$\begin{vmatrix} f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \\ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \\ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \\ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix}$

দ্বিতীয় নির্ণায়কটি ভেঙে পাই:
$\begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \\ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \\ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \\ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$

সুতরাং,
$\text{R.H.S.} = \left[ \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \\ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \\ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} \right] + \left[ \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \\ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \\ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix} \right]$

$= \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \\ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$
$= F(x+h) - F(x) = \text{L.H.S.}$

$\therefore F(x+h) - F(x) = \begin{vmatrix} f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \end{vmatrix}$$ (প্রমাণিত)।