উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$4x^2 + py^2 = 80$

উপবৃত্তটি $(0, \pm 4)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। সুতরাং,
$4(0)^2 + p(\pm 4)^2 = 80$
$\implies 16p = 80$
$\implies p = 5$

$p = 5$ বসিয়ে সমীকরণটি পাওয়া যায়:
$4x^2 + 5y^2 = 80$
$\implies \frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{16} = 1$

এখানে, $a^2 = 20 \implies a = 2\sqrt{5}$ এবং $b^2 = 16 \implies b = 4$।
যেহেতু $a > b$, তাই এর অক্ষদ্বয় যথাক্রমে $x$-অক্ষ ও $y$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

১. অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:

• বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2a = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ একক
• ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2b = 2 \times 4 = 8$ একক

২. উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক:
উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{20}} = \sqrt{\frac{4}{20}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $= (\pm ae, 0) = \left(\pm 2\sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) = (\pm 2, 0)$

উত্তর:

• $p$ এর মান: $5$
• অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য: $4\sqrt{5}$ একক ও $8$ একক
• উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(\pm 2, 0)$