উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$x^4 - 9x^3 + 30x^2 - 42x + 20 = 0$

যেহেতু সমীকরণটির সকল সহগ বাস্তব এবং এর একটি মূল $3 - i$, তাই জটিল মূল জোড়ায় বিদ্যমান থাকার কারণে অপর একটি মূল হবে এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, অর্থাৎ $3 + i$।

এই দুটি মূল বিশিষ্ট দ্বিঘাত উৎপাদক:
$(x - (3 - i))(x - (3 + i)) = 0$
$\implies ((x - 3) + i)((x - 3) - i) = 0$
$\implies (x - 3)^2 - i^2 = 0$
$\implies x^2 - 6x + 9 - (-1) = 0$
$\implies x^2 - 6x + 10 = 0$

এখন প্রদত্ত সমীকরণকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
$x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 3x^3 + 18x^2 - 30x + 2x^2 - 12x + 20 = 0$
$\implies x^2(x^2 - 6x + 10) - 3x(x^2 - 6x + 10) + 2(x^2 - 6x + 10) = 0$
$\implies (x^2 - 6x + 10)(x^2 - 3x + 2) = 0$

অতএব,
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$\implies (x - 1)(x - 2) = 0$
$\implies x = 1, 2$

সুতরাং, সমীকরণটির অপর মূলগুলো হলো $3 + i, 1$ এবং $2$।