$\cos{\left ( \pi \sqrt{x - 4)} \cos{\left ( \pi \sqrt{x} \right )} = 1 \right.}$ এর কয়টি সমাধান পাওয়া যাবে ?

Question

Accepted Answer

খ. 1

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণ: $\cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = 1$
বাস্তব মানের জন্য $x \ge 4$ হতে হবে।
যেহেতু কোসাইনের সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান -1, তাই দুটি কোসাইনের গুণফল 1 হতে পারে কেবল দুটি শর্তে:
১) $\cos(\pi\sqrt{x}) = 1$ এবং $\cos(\pi\sqrt{x-4}) = 1$
$\implies \pi\sqrt{x} = 2k\pi \implies x = 4k^2$
এবং $\pi\sqrt{x-4} = 2m\pi \implies x - 4 = 4m^2 \implies x = 4(m^2 + 1)$
$\implies 4k^2 = 4(m^2+1) \implies k^2 - m^2 = 1 \implies (k-m)(k+m) = 1$
যেহেতু $k, m$ অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $k = 1, m = 0$। এর থেকে পাই $x = 4$।

২) $\cos(\pi\sqrt{x}) = -1$ এবং $\cos(\pi\sqrt{x-4}) = -1$
$\implies \sqrt{x} = 2k+1$ এবং $\sqrt{x-4} = 2m+1$
$\implies (2k+1)^2 - (2m+1)^2 = 4$
দুটি বিজোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর সর্বদা 8 এর গুণিতক হয়, যা 4 হতে পারে না। ফলে এই ক্ষেত্র থেকে কোনো সমাধান পাওয়া যায় না।

সুতরাং সমীকরণটির কেবল একটি মাত্র সমাধান ($x=4$) বিদ্যমান। সমাধানের সংখ্যা = 1।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন