উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

M=[p−q−r2q2r2px−r−p2r2p2qr−p−q],N=[−303]\mathbf{M}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{p}-\mathbf{q}-\mathbf{r} & 2 \mathbf{q} & 2 \mathbf{r} \\ 2 \mathbf{p} & \mathbf{x}-\mathbf{r}-\mathbf{p} & 2 \mathbf{r} \\ 2 \mathbf{p} & 2 \mathbf{q} & \mathbf{r}-\mathbf{p}-\mathbf{q}\end{array}\right], \mathbf{N}=\left[\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 3\end{array}\right] এবং X=[Xyz]X=\left[\begin{array}{l}X \\ y \\ z\end{array}\right]

  1. ক)

    [x35x−2]\left[\begin{array}{cc}x & 3 \\ 5 & x-2\end{array}\right] একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, xx এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, ∣M∣=(p+q+r)3M|=(p+q+r)^{3}

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকে p=q=r=1 হলে, MXN কে ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    একটি ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী (singular) হবে যদি তার নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।

    অতএব,
    ∣x35x−2∣=0\begin{vmatrix} x & 3 \\ 5 & x-2 \end{vmatrix} = 0
    ⇒x(x−2)−(3)(5)=0\Rightarrow x(x - 2) - (3)(5) = 0
    ⇒x2−2x−15=0\Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0
    ⇒x2−5x+3x−15=0\Rightarrow x^2 - 5x + 3x - 15 = 0
    ⇒x(x−5)+3(x−5)=0\Rightarrow x(x - 5) + 3(x - 5) = 0
    ⇒(x−5)(x+3)=0\Rightarrow (x - 5)(x + 3) = 0

    সুতরাং, x=5x = 5 অথবা x=−3x = -3।

    নির্ণেয় xx এর মান: 55 বা −3-3।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের (মূল প্রমাণে xx-এর স্থলে qq):
    ∣M∣=∣p−q−r2q2r2pq−r−p2r2p2qr−p−q∣|M| = \begin{vmatrix} p - q - r & 2q & 2r \\ 2p & q - r - p & 2r \\ 2p & 2q & r - p - q \end{vmatrix}

    সারি রূপান্তর R1′=R1+R2+R3R_1' = R_1 + R_2 + R_3 প্রয়োগ করে পাই:
    ∣M∣=∣p+q+rp+q+rp+q+r2pq−r−p2r2p2qr−p−q∣|M| = \begin{vmatrix} p + q + r & p + q + r & p + q + r \\ 2p & q - r - p & 2r \\ 2p & 2q & r - p - q \end{vmatrix}

    প্রথম সারি থেকে (p+q+r)(p + q + r) সাধারণ উৎপাদক নিয়ে পাই:
    ∣M∣=(p+q+r)∣1112pq−r−p2r2p2qr−p−q∣|M| = (p + q + r) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2p & q - r - p & 2r \\ 2p & 2q & r - p - q \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 প্রয়োগ করে পাই:
    ∣M∣=(p+q+r)∣001p+q+r−(p+q+r)2r0p+q+rr−p−q∣|M| = (p + q + r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p + q + r & -(p + q + r) & 2r \\ 0 & p + q + r & r - p - q \end{vmatrix}

    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই:
    ∣M∣=(p+q+r)⋅1⋅∣p+q+r−(p+q+r)0p+q+r∣|M| = (p + q + r) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} p + q + r & -(p + q + r) \\ 0 & p + q + r \end{vmatrix}
    =(p+q+r)⋅[(p+q+r)(p+q+r)−0]= (p + q + r) \cdot [(p + q + r)(p + q + r) - 0]
    =(p+q+r)(p+q+r)2= (p + q + r)(p + q + r)^2
    =(p+q+r)3= (p + q + r)^3

    অতএব, ∣M∣=(p+q+r)3|M| = (p + q + r)^3 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে p=q=r=1p = q = r = 1 হলে এবং সমীকরণ জোট MX=NMX = N বিবেচনা করলে,
    M=[1−1−12(1)2(1)2(1)1−1−12(1)2(1)2(1)1−1−1]=[−1222−1222−1]M = \begin{bmatrix} 1-1-1 & 2(1) & 2(1) \\ 2(1) & 1-1-1 & 2(1) \\ 2(1) & 2(1) & 1-1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}

    X=[xyz]X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} এবং N=[−303]N = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}

    সুতরাং সমীকরণ জোট:
    −x+2y+2z=−3-x + 2y + 2z = -3
    2x−y+2z=02x - y + 2z = 0
    2x+2y−z=32x + 2y - z = 3

    ক্রেমারের নিয়মে সমাধান:
    D=∣M∣=(p+q+r)3=(1+1+1)3=33=27D = |M| = (p + q + r)^3 = (1 + 1 + 1)^3 = 3^3 = 27

    Dx=∣−3220−1232−1∣D_x = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}
    =−3((−1)(−1)−(2)(2))−2(0−6)+2(0−(−3))= -3((-1)(-1) - (2)(2)) - 2(0 - 6) + 2(0 - (-3))
    =−3(1−4)−2(−6)+2(3)= -3(1 - 4) - 2(-6) + 2(3)
    =−3(−3)+12+6=9+12+6=27= -3(-3) + 12 + 6 = 9 + 12 + 6 = 27

    Dy=∣−1−3220223−1∣D_y = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}
    =−1(0−6)−(−3)(−2−4)+2(6−0)= -1(0 - 6) - (-3)(-2 - 4) + 2(6 - 0)
    =−1(−6)+3(−6)+2(6)= -1(-6) + 3(-6) + 2(6)
    =6−18+12=0= 6 - 18 + 12 = 0

    Dz=∣−12−32−10223∣D_z = \begin{vmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}
    =−1(−3−0)−2(6−0)−3(4−(−2))= -1(-3 - 0) - 2(6 - 0) - 3(4 - (-2))
    =−1(−3)−2(6)−3(6)= -1(-3) - 2(6) - 3(6)
    =3−12−18=−27= 3 - 12 - 18 = -27

    অতএব,
    x=DxD=2727=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{27}{27} = 1
    y=DyD=027=0y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{27} = 0
    z=DzD=−2727=−1z = \frac{D_z}{D} = \frac{-27}{27} = -1

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(1,0,−1)(x, y, z) = (1, 0, -1)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন