উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$A = x \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = x \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

১ম অংশ: $AB$ ও $BA$ এর মধ্যবর্তী সম্পর্ক নির্ণয়:
$AB = x^2 \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}$
$= x^2 \begin{bmatrix} 3(1) - 4(2) + 2(3) & 3(2) - 4(5) + 2(7) & 3(-2) - 4(-4) + 2(-5) \\ -2(1) + 1(2) + 0(3) & -2(2) + 1(5) + 0(7) & -2(-2) + 1(-4) + 0(-5) \\ -1(1) - 1(2) + 1(3) & -1(2) - 1(5) + 1(7) & -1(-2) - 1(-4) + 1(-5) \end{bmatrix}$
$= x^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = x^2 I$

অনুরূপভাবে,
$BA = x^2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
$= x^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = x^2 I$

অতএব, $AB = BA = x^2 I$ (বা, $AB = BA$)।

২য় অংশ: $B^{-1}$ কে $x$ ও $A$ এর মাধ্যমে প্রকাশ:
আমরা জানি, $BA = x^2 I$
উভয়পক্ষকে বাম দিক থেকে $B^{-1}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$B^{-1}(BA) = B^{-1}(x^2 I)$
$\implies (B^{-1}B)A = x^2 B^{-1}$
$\implies IA = x^2 B^{-1}$
$\implies B^{-1} = \frac{1}{x^2} A$