উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর প্রাথমিক বেগ $u$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$।

সর্বোচ্চ উচ্চতা, $H = \frac{u^2}{2g}$

সর্বোচ্চ উচ্চতার অর্ধেক, $h = \frac{H}{2} = \frac{u^2}{4g}$

$t$ সময়ে বস্তুটি $h$ উচ্চতায় পৌঁছালে,
$h = ut - \frac{1}{2}gt^2$
$\Rightarrow \frac{u^2}{4g} = ut - \frac{1}{2}gt^2$
$\Rightarrow \frac{1}{2}gt^2 - ut + \frac{u^2}{4g} = 0$
$\Rightarrow 2g^2t^2 - 4gut + u^2 = 0$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে,
$t = \frac{4gu \pm \sqrt{(4gu)^2 - 4 \cdot 2g^2 \cdot u^2}}{2 \cdot 2g^2}$
$\Rightarrow t = \frac{4gu \pm \sqrt{16g^2u^2 - 8g^2u^2}}{4g^2}$
$\Rightarrow t = \frac{4gu \pm 2\sqrt{2}gu}{4g^2}$
$\Rightarrow t = \frac{(2 \pm \sqrt{2})u}{2g}$

বস্তুটি উপরে ওঠার সময় প্রথমবার সর্বোচ্চ উচ্চতার অর্ধেক অতিক্রম করে, তাই ক্ষুদ্রতর সময়টি গৃহীত হবে:
$t = \frac{(2 - \sqrt{2})u}{2g} = \frac{u}{g}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
(নেমে আসার সময় অতিক্রান্ত মোট সময় হবে $\frac{(2 + \sqrt{2})u}{2g}$)

নির্ণেয় সময়: $\frac{(2 - \sqrt{2})u}{2g}$