$y^2 = 4ax$ এবং $x^2 = 4ay$ পরাবৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শক কোনটি?(Which one is the common tangent of the two parabolas $y^2 = 4ax$ and $x^2 = 4ay$?)

Question

Accepted Answer

খ. x+y=−ax + y = -a

ব্যাখ্যা: $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ $y = mx + \frac{a}{m}$।
এই রেখাটি $x^2 = 4ay$ পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে, $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$$x^2 = 4a\left(mx + \frac{a}{m}\right) \implies x^2 - 4amx - \frac{4a^2}{m} = 0$$
যেহেতু এটি স্পর্শক, তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চয়ক শূন্য হবে:
$$(-4am)^2 - 4(1)\left(-\frac{4a^2}{m}\right) = 0$$
$$16a^2m^2 + \frac{16a^2}{m} = 0 \implies 16a^2\left(m^2 + \frac{1}{m}\right) = 0$$
$$m^3 + 1 = 0 \implies m = -1$$
সুতরাং সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ:
$$y = (-1)x + \frac{a}{-1} \implies y = -x - a \implies x + y = -a$$

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন