উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$y = \left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{20}$

$x$-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = 20\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{19} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$
$= 20\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{19} \left(\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{20\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{20}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{20y}{\sqrt{1+x^2}}$

বর্গ করে ও আড়গুণন করে পাই,
$(1+x^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 400y^2$

উভয়পক্ষকে পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
$2x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (1+x^2) \cdot 2\left(\frac{dy}{dx}\right)\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) = 400 \cdot 2y \left(\frac{dy}{dx}\right)$

উভয়পক্ষকে $2\left(\frac{dy}{dx}\right)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$(1+x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} = 400y$

এখন, $x = 0$ হলে,
$y = (0 + \sqrt{1+0})^{20} = 1$

সুতরাং,
$(1+0)\left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{x=0} + 0 = 400(1)$
$\therefore \left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{x=0} = 400$