$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{e^{-kx} + e^{kx}}$ এর মান কত যেখানে k0 k 0 ?

Question

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{e^{-kx} + e^{kx}}$ এর মান কত যেখানে k>0 k > 0 ?

Accepted Answer

খ. $\frac{\pi}{2k}$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত যোগজটি হলো:
$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{e^{-kx} + e^{kx}}$

লব ও হরকে $e^{kx}$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{kx}}{1 + e^{2kx}} \, dx$

ধরি, $u = e^{kx}$
তাহলে, $du = k e^{kx} dx \implies e^{kx} dx = \frac{du}{k}$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x 	o -\infty$, তখন $u = e^{-\infty} 	o 0$
যখন $x 	o \infty$, তখন $u = e^{\infty} 	o \infty$

মান বসিয়ে পাই:
$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{du}{k}}{1 + u^2} = \frac{1}{k} \left[ 	an^{-1}(u) ight]_0^\infty = \frac{1}{k} \left( 	an^{-1}(\infty) - 	an^{-1}(0) ight) = \frac{1}{k} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{2k}$

সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 2।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন