ক) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ: x 2 − k x + ( k + 3 ) = 0 x^2 - kx + (k + 3) = 0 x 2 − k x + ( k + 3 ) = 0 D < 0 D < 0 D < 0 D = ( − k ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( k + 3 ) = k 2 − 4 k − 12 D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 3) = k^2 - 4k - 12 D = ( − k ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( k + 3 ) = k 2 − 4 k − 12 k 2 − 4 k − 12 < 0 k^2 - 4k - 12 < 0 k 2 − 4 k − 12 < 0 ⇒ ( k − 6 ) ( k + 2 ) < 0 \Rightarrow (k - 6)(k + 2) < 0 ⇒ ( k − 6 ) ( k + 2 ) < 0 ⇒ − 2 < k < 6 \Rightarrow -2 < k < 6 ⇒ − 2 < k < 6
অতএব, k k k − 2 < k < 6 -2 < k < 6 − 2 < k < 6
খ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া সমীকরণ: x 2 + b x + c = 0 x^2 + bx + c = 0 x 2 + b x + c = 0 α − β \alpha - \sqrt{\beta} α − β ( α + β ) + ( α − β ) = − b ⇒ 2 α = − b ⇒ α = − b 2 (\alpha + \sqrt{\beta}) + (\alpha - \sqrt{\beta}) = -b \Rightarrow 2\alpha = -b \Rightarrow \alpha = -\frac{b}{2} ( α + β ) + ( α − β ) = − b ⇒ 2 α = − b ⇒ α = − 2 b ( α + β ) ( α − β ) = c ⇒ α 2 − β = c ⇒ β = α 2 − c = b 2 4 − c = b 2 − 4 c 4 (\alpha + \sqrt{\beta})(\alpha - \sqrt{\beta}) = c \Rightarrow \alpha^2 - \beta = c \Rightarrow \beta = \alpha^2 - c = \frac{b^2}{4} - c = \frac{b^2 - 4c}{4} ( α + β ) ( α − β ) = c ⇒ α 2 − β = c ⇒ β = α 2 − c = 4 b 2 − c = 4 b 2 − 4 c
এখন, নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়:y 1 = 1 α + 1 β y_1 = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} y 1 = α 1 + β 1 y 2 = 1 α − 1 β y_2 = \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\sqrt{\beta}} y 2 = α 1 − β 1 S = y 1 + y 2 = 2 α = 2 − b / 2 = − 4 b S = y_1 + y_2 = \frac{2}{\alpha} = \frac{2}{-b/2} = -\frac{4}{b} S = y 1 + y 2 = α 2 = − b /2 2 = − b 4
মূলদ্বয়ের গুণফল:P = y 1 y 2 = 1 α 2 − 1 β = β − α 2 α 2 β = − c ( b 2 4 ) ( b 2 − 4 c 4 ) = − 16 c b 2 ( b 2 − 4 c ) P = y_1 y_2 = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\beta} = \frac{\beta - \alpha^2}{\alpha^2 \beta} = \frac{-c}{\left(\frac{b^2}{4}\right)\left(\frac{b^2 - 4c}{4}\right)} = \frac{-16c}{b^2(b^2 - 4c)} P = y 1 y 2 = α 2 1 − β 1 = α 2 β β − α 2 = ( 4 b 2 ) ( 4 b 2 − 4 c ) − c = b 2 ( b 2 − 4 c ) − 16 c
সুতরাং নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:y 2 − S y + P = 0 y^2 - Sy + P = 0 y 2 − S y + P = 0 ⇒ y 2 − ( − 4 b ) y + ( − 16 c b 2 ( b 2 − 4 c ) ) = 0 \Rightarrow y^2 - \left(-\frac{4}{b}\right)y + \left(-\frac{16c}{b^2(b^2 - 4c)}\right) = 0 ⇒ y 2 − ( − b 4 ) y + ( − b 2 ( b 2 − 4 c ) 16 c ) = 0 ⇒ y 2 + 4 b y − 16 c b 2 ( b 2 − 4 c ) = 0 \Rightarrow y^2 + \frac{4}{b}y - \frac{16c}{b^2(b^2 - 4c)} = 0 ⇒ y 2 + b 4 y − b 2 ( b 2 − 4 c ) 16 c = 0 ⇒ b 2 ( b 2 − 4 c ) y 2 + 4 b ( b 2 − 4 c ) y − 16 c = 0 \Rightarrow b^2(b^2 - 4c)y^2 + 4b(b^2 - 4c)y - 16c = 0 ⇒ b 2 ( b 2 − 4 c ) y 2 + 4 b ( b 2 − 4 c ) y − 16 c = 0 ⇒ ( b 2 − 4 c ) ( b 2 y 2 + 4 b y ) − 16 c = 0 \Rightarrow (b^2 - 4c)(b^2 y^2 + 4by) - 16c = 0 ⇒ ( b 2 − 4 c ) ( b 2 y 2 + 4 b y ) − 16 c = 0
চলক y y y x x x ( b 2 − 4 c ) ( b 2 x 2 + 4 b x ) − 16 c = 0 (b^2 - 4c)(b^2x^2 + 4bx) - 16c = 0 ( b 2 − 4 c ) ( b 2 x 2 + 4 b x ) − 16 c = 0 1 α ± 1 β \frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}} α 1 ± β 1
গ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি α \alpha α α 2 + b α + c = 0 \alpha^2 + b\alpha + c = 0 α 2 + b α + c = 0 c α 2 + b α + 1 = 0 c\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0 c α 2 + b α + 1 = 0
(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই:( 1 − c ) α 2 + ( c − 1 ) = 0 (1 - c)\alpha^2 + (c - 1) = 0 ( 1 − c ) α 2 + ( c − 1 ) = 0 ⇒ ( 1 − c ) α 2 = 1 − c \Rightarrow (1 - c)\alpha^2 = 1 - c ⇒ ( 1 − c ) α 2 = 1 − c c ≠ 1 c \neq 1 c = 1 α 2 = 1 ⇒ α = ± 1 \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1 α 2 = 1 ⇒ α = ± 1
বিকল্পভাবে, বজরগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:α 2 b ⋅ 1 − b ⋅ c = α c ⋅ c − 1 ⋅ 1 = 1 1 ⋅ b − b ⋅ c \frac{\alpha^2}{b \cdot 1 - b \cdot c} = \frac{\alpha}{c \cdot c - 1 \cdot 1} = \frac{1}{1 \cdot b - b \cdot c} b ⋅ 1 − b ⋅ c α 2 = c ⋅ c − 1 ⋅ 1 α = 1 ⋅ b − b ⋅ c 1 ⇒ α 2 b ( 1 − c ) = α c 2 − 1 = 1 b ( 1 − c ) \Rightarrow \frac{\alpha^2}{b(1 - c)} = \frac{\alpha}{c^2 - 1} = \frac{1}{b(1 - c)} ⇒ b ( 1 − c ) α 2 = c 2 − 1 α = b ( 1 − c ) 1
প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে:α 2 = b ( 1 − c ) b ( 1 − c ) = 1 \alpha^2 = \frac{b(1 - c)}{b(1 - c)} = 1 α 2 = b ( 1 − c ) b ( 1 − c ) = 1
প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত হতে:α = b ( 1 − c ) c 2 − 1 = − b ( c − 1 ) ( c − 1 ) ( c + 1 ) = − b c + 1 \alpha = \frac{b(1 - c)}{c^2 - 1} = \frac{-b(c - 1)}{(c - 1)(c + 1)} = -\frac{b}{c + 1} α = c 2 − 1 b ( 1 − c ) = ( c − 1 ) ( c + 1 ) − b ( c − 1 ) = − c + 1 b
যেহেতু α 2 = 1 \alpha^2 = 1 α 2 = 1 ( − b c + 1 ) 2 = 1 \left(-\frac{b}{c + 1}\right)^2 = 1 ( − c + 1 b ) 2 = 1 ⇒ b 2 ( c + 1 ) 2 = 1 \Rightarrow \frac{b^2}{(c + 1)^2} = 1 ⇒ ( c + 1 ) 2 b 2 = 1 ⇒ ( c + 1 ) 2 = b 2 \Rightarrow (c + 1)^2 = b^2 ⇒ ( c + 1 ) 2 = b 2