উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, P ও Q মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান:
   R = |P - Q|
   এখানে, P = 20 N এবং Q = 15 N
   ∴ লব্ধি R = 20 N - 15 N = 5 N
   লব্ধিটির মান 5 N এবং এটি বৃহত্তর বলের (20 N) দিকে ক্রিয়া করবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ অনুসারে, P, Q, R বলত্রয় একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে।
   দেওয়া আছে:
   P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ = 60°
   P ও R এর মধ্যবর্তী কোণ = 150°
   সুতরাং, Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ = 360° - (60° + 150°) = 360° - 210° = 150°

   লামির উপপাদ্য অনুসারে,
   P / sin(Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ) = Q / sin(P ও R এর মধ্যবর্তী কোণ) = R / sin(P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ)
   ⇒ P / sin 150° = Q / sin 150° = R / sin 60°

   যেহেতু sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2 এবং sin 60° = √3/2,
   ⇒ P / (1/2) = Q / (1/2) = R / (√3/2)
   ⇒ 2P = 2Q = 2R / √3

   উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   P = Q = R / √3 (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, 20 সেমি দীর্ঘ দণ্ডটি $AB$, যেখানে $A$ বিন্দুতে $2W$ এবং $B$ বিন্দুতে $3W$ ওজন ঝুলানো আছে।
   ধরি খুঁটি দুটি যথাক্রমে $C$ ও $D$ বিন্দুতে অবস্থিত এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব $CD = 10$ সেমি।
   ধরি, $A$ বিন্দু হতে $C$ বিন্দুর দূরত্ব $AC = x$ সেমি।
   তাহলে $AD = AC + CD = x + 10$ সেমি।
   এবং $B$ বিন্দু থেকে $D$ এর দূরত্ব $BD = AB - AD = 20 - (x + 10) = (10 - x)$ সেমি।

   খুঁটি দুটিতে ঊর্ধ্বমুখী প্রতিক্রিয়া বল যথাক্রমে $R_C$ এবং $R_D$।
   দণ্ডটি আনুভূমিকভাবে সাম্যাবস্থায় থাকায়:
   ১) উল্লম্ব বলগুলোর বীজগণিতীয় যোগফল শূন্য:
   $R_C + R_D = 2W + 3W = 5W$ ...... (1)

   যেহেতু দণ্ডটি হাল্কা এবং খুঁটি দুটির উপর অবস্থান করছে, তাই খুঁটি দুটির প্রতিক্রিয়া $R_C \ge 0$ এবং $R_D \ge 0$ হতে হবে।
   $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই:
   $-2W \cdot AC + R_D \cdot CD - 3W \cdot CB = 0$
   যেহেতু $CB = AB - AC = 20 - x$,
   $\Rightarrow -2W \cdot x + R_D \cdot 10 - 3W \cdot (20 - x) = 0$
   $\Rightarrow 10 R_D = 2Wx + 60W - 3Wx = 60W - Wx$
   $\Rightarrow R_D = \frac{W(60 - x)}{10}$

   আবার, $D$ বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই:
   $-2W \cdot AD - R_C \cdot CD + 3W \cdot BD = 0$
   $\Rightarrow -2W \cdot (x + 10) - R_C \cdot 10 + 3W \cdot (10 - x) = 0$
   $\Rightarrow 10 R_C = -2Wx - 20W + 30W - 3Wx = 10W - 5Wx$
   $\Rightarrow R_C = \frac{W(10 - 5x)}{10}$

   দণ্ডটি উভয় খুঁটির উপর স্থিরভাবে থাকার জন্য উভয় প্রতিক্রিয়া ধনাত্মক বা অ-ঋণাত্মক হতে হবে:
   $R_C \ge 0 \Rightarrow 10 - 5x \ge 0 \Rightarrow 5x \le 10 \Rightarrow x \le 2$ সেমি
   এবং খুঁটিদ্বয় দণ্ডের অভ্যন্তরে থাকায় $x \ge 0$।
   বিশেষভাবে, যদি উভয় খুঁটিতে চাপ সমান বা সুনির্দিষ্ট অবস্থান বিবেচনা করা হয় অথবা প্রান্তীয় ভারসাম্যের সীমাস্থ অবস্থায়:
   যদি খুঁটি দুটির অবস্থান নির্ণয় করতে বলা হয় যেখানে সাম্যাবস্থা বজায় থাকে:
   $x$ এর মান 0 থেকে 2 সেমি এর মধ্যে হতে হবে ($0 \le x \le 2$)।
   যদি প্রথম খুঁটিটি ঠিক $A$ বিন্দু থেকে 2 সেমি দূরে স্থাপন করা হয় ($x = 2$ সেমি), তবে $R_C = 0$ হয় এবং দণ্ডটি উল্টে পড়ার উপক্রম হয়।
   অতএব, খুঁটি দুটিকে $A$ প্রান্ত থেকে $x$ সেমি এবং $(x + 10)$ সেমি দূরত্বে স্থাপন করতে হবে, যেখানে $0 \le x \le 2$ সেমি।
   (উদাহরণস্বরূপ, যদি $A$ প্রান্ত থেকে প্রথম খুঁটিটি 2 সে.মি. দূরে থাকে, তবে দ্বিতীয় খুঁটিটি $A$ থেকে 12 সে.মি. দূরে বা $B$ থেকে 8 সে.মি. দূরে অবস্থিত হবে।)