উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি:
   $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 3 x}{x^{2}}$
   $= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)}{x^2}$
   $= 2 \lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)^2 \times \frac{9}{4}$
   $= 2 \times (1)^2 \times \frac{9}{4}$
   $= \frac{9}{2}$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $f(x) = h(x) = \cos 3x$
   $\therefore f(x+h) = \cos 3(x+h) = \cos(3x+3h)$

   মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
   $\frac{d}{dx}[f(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(3x+3h) - \cos 3x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\left(\frac{3x+3h+3x}{2}\right) \sin\left(\frac{3x-(3x+3h)}{2}\right)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\left(3x+\frac{3h}{2}\right) \sin\left(-\frac{3h}{2}\right)}{h}$
   $= - \lim_{h \to 0} \sin\left(3x+\frac{3h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2}} \times 3$
   $= - \sin(3x+0) \times 1 \times 3$
   $= -3\sin 3x$

   $\therefore \frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3\sin 3x$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\ln y = u = \tan^{-1}(2x)$
   $\Rightarrow \tan u = 2x$
   $\Rightarrow 2x = \tan u$

   এখন, $\ln y = \tan^{-1}(2x)$
   উভয়পক্ষকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{y} y_1 = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2$
   $\Rightarrow \frac{y_1}{y} = \frac{2}{1 + \tan^2 u} = \frac{2}{\sec^2 u}$
   $\Rightarrow \sec^2 u \cdot y_1 = 2y$

   আবার $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}(\sec^2 u) \cdot y_1 + \sec^2 u \cdot y_2 = 2y_1$
   $\Rightarrow 2\sec u \cdot \frac{d}{dx}(\sec u) \cdot y_1 + \sec^2 u \cdot y_2 = 2y_1$
   $\Rightarrow 2\sec u (\sec u \tan u) \cdot \frac{du}{dx} \cdot y_1 + \sec^2 u \cdot y_2 = 2y_1$
   $\Rightarrow 2\sec^2 u \tan u \cdot \left(\frac{2}{1 + 4x^2}\right) \cdot y_1 + \sec^2 u \cdot y_2 = 2y_1$
   $\Rightarrow 2\sec^2 u \tan u \cdot \left(\frac{2}{\sec^2 u}\right) \cdot y_1 + \sec^2 u \cdot y_2 - 2y_1 = 0$
   $\Rightarrow 4 \tan u \cdot y_1 + \sec^2 u \cdot y_2 - 2y_1 = 0$
   $\Rightarrow \sec^2 u \cdot y_2 + 2y_1(2\tan u - 1) = 0$
   (প্রমাণিত)