উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় A(3, 5), B(2, 1) এবং C(6, 3)।
   অতএব, △ABC এর ক্ষেত্রফল
   = (1/2) |$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)$|
   = (1/2) |3(1 - 3) + 2(3 - 5) + 6(5 - 1)|
   = (1/2) |3(-2) + 2(-2) + 6(4)|
   = (1/2) |-6 - 4 + 24|
   = (1/2) |14| = 7 বর্গ একক।

   উত্তর: 7 বর্গ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   BC এর মধ্যবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক:
   D = ((2 + 6)/2, (1 + 3)/2) = (8/2, 4/2) = (4, 2)।

   △ABC এর ভরকেন্দ্র G এর স্থানাঙ্ক:
   G = ((3 + 2 + 6)/3, (5 + 1 + 3)/3) = (11/3, 9/3) = (11/3, 3)।

   ধরি, G বিন্দুটি A(3, 5) ও D(4, 2) এর সংযোগ রেখাংশ AD-কে k : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
   তাহলে, অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর ভুজ:
   (k · 4 + 1 · 3) / (k + 1) = 11/3
   ⇒ 3(4k + 3) = 11(k + 1)
   ⇒ 12k + 9 = 11k + 11
   ⇒ 12k - 11k = 11 - 9
   ⇒ k = 2

   অতএব, অনুপাতটি k : 1 = 2 : 1।
   সুতরাং, G বিন্দুটি AD রেখাংশকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $B(2, 1)$ এবং $C(6, 3)$ বিন্দুগামী $BC$ রেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 1}{1 - 3} = \frac{x - 2}{2 - 6}$
   $\Rightarrow \frac{y - 1}{-2} = \frac{x - 2}{-4}$
   $\Rightarrow 2(y - 1) = x - 2$
   $\Rightarrow 2y - 2 = x - 2$
   $\Rightarrow x - 2y = 0$ ... (i)

   যেহেতু $EB \perp BC$, তাই $EB$ রেখার সমীকরণ হবে:
   $2x + y + k = 0$
   যেহেতু রেখাটি $B(2, 1)$ বিন্দুগামী, তাই:
   $2(2) + 1 + k = 0 \Rightarrow 4 + 1 + k = 0 \Rightarrow k = -5$
   অতএব, $EB$ রেখার সমীকরণ:
   $2x + y - 5 = 0$ ... (ii)

   এখন, $BC$ ও $EB$ রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $\frac{x - 2y}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{2x + y - 5}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$
   $\Rightarrow \frac{x - 2y}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x + y - 5}{\sqrt{5}}$
   $\Rightarrow x - 2y = \pm (2x + y - 5)$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $x - 2y = 2x + y - 5$
   $\Rightarrow x + 3y - 5 = 0$

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $x - 2y = -(2x + y - 5)$
   $\Rightarrow x - 2y = -2x - y + 5$
   $\Rightarrow 3x - y - 5 = 0$

   সুতরাং, $\angle EBC$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $x + 3y - 5 = 0$ এবং $3x - y - 5 = 0$।