উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বামপক্ষ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x})(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}{x(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+2x) - (1-3x)}{x(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{x(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x}}$ [যেহেতু $x \to 0$, $x \ne 0$] $= \frac{5}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{5}{2}$ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ: $y = f(x) = 3x^2 + 2x + 7$। x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dy/dx = 6x + 2। (2, 23) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m = [dy/dx]_{(2, 23)} = 6(2) + 2 = 14$। অতএব, (2, 23) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: y - 23 = 14(x - 2) বা, y - 23 = 14x - 28 বা, 14x - y - 5 = 0। এবং (2, 23) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ: y - 23 = -(1/14)(x - 2) বা, 14(y - 23) = -x + 2 বা, 14y - 322 = -x + 2 বা, x + 14y - 324 = 0। নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ 14x - y - 5 = 0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ x + 14y - 324 = 0।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = 54x - (2x - 7)^3$। অন্তরীকরণ করে পাই, $g'(x) = 54 - 6(2x - 7)^2$ এবং g''(x) = -24(2x - 7)। চরম মানের জন্য g'(x) = 0 বা, $54 - 6(2x - 7)^2 = 0$ বা, $(2x - 7)^2 = 9$ বা, 2x - 7 = +-3। সুতরাং x = 5 অথবা x = 2। x = 5 বিন্দুতে, g''(5) = -24(10 - 7) = -72 < 0; অতএব x = 5 বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান। গুরুমান $= g(5) = 54(5) - (2*5 - 7)^3 = 270 - 27 = 243$। x = 2 বিন্দুতে, g''(2) = -24(4 - 7) = 72 > 0; অতএব x = 2 বিন্দুতে লঘুমান বিদ্যমান। লঘুমান $= g(2) = 54(2) - (2*2 - 7)^3 = 108 - (-27) = 135$। অতএব, নির্ণেয় গুরুমান 243 এবং লঘুমান 135।