গাণিতিক যুক্তি প্রশ্ন

ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$ এবং সাধারণ অনুপাত = $r$।

গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদের সূত্র: $ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,
পঞ্চম পদ ($n=5$):
$ar^{5-1} = 32$
$ar^4 = 32$ -------- (১)

অষ্টম পদ ($n=8$):
$ar^{8-1} = 256$
$ar^7 = 256$ -------- (২)

এখন সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করি:
$\frac{ar^7}{ar^4} = \frac{256}{32}$
$r^3 = 8$
$r^3 = 2^3$
$r = 2$

অতএব, ধারাটির সাধারণ অনুপাত হলো $2$।

একই ধরনের প্রশ্ন:
১. একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ ১২ এবং ষষ্ঠ পদ ৯৬ হলে সাধারণ অনুপাত কত?
উত্তর: $2$ (যেহেতু $\frac{ar^5}{ar^2} = r^3 = \frac{96}{12} = 8$, সুতরাং $r=2$)
২. কোনো গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ ৮ এবং সপ্তম পদ ৬৪ হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?
উত্তর: $1$ (যেহেতু $r=2$, সেহেতু $ar^3 = 8 \Rightarrow a(8) = 8 \Rightarrow a=1$)