উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$ (যেখানে $x \neq 2$)
   প্রাপ্ত বহুপদীতে চলক $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
   সুতরাং, নির্ণেয় বহুপদীর ঘাত = 2।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $z = \alpha + \beta i$
   $\alpha = 2, \beta = \sqrt{3}$ হলে,
   $z = 2 + \sqrt{3}i$
   বাস্তব সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগল হিসেবে থাকে।
   অতএব, অপর মূলটি হবে $2 - \sqrt{3}i$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল = $(2 + \sqrt{3}i) + (2 - \sqrt{3}i) = 4$
   মূলদ্বয়ের গুণফল = $(2 + \sqrt{3}i)(2 - \sqrt{3}i) = 2^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 4 - 3(-1) = 7$

   অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 4x + 7 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $z = \alpha + \beta i$। $\beta = 0$ হলে, $z = \alpha$।
   রাশিটি দাঁড়ায়:
   $\left(2\alpha^2 + \frac{R}{\alpha^3}\right)^{10}$

   দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
   $T_{r+1} = \binom{10}{r} (2\alpha^2)^{10-r} \left(\frac{R}{\alpha^3}\right)^r$
   $= \binom{10}{r} 2^{10-r} \cdot \alpha^{20-2r} \cdot R^r \cdot \alpha^{-3r}$
   $= \binom{10}{r} 2^{10-r} R^r \cdot \alpha^{20-5r}$

   $\alpha^5$ এর সহগের জন্য:
   $20 - 5r = 5 \Rightarrow 5r = 15 \Rightarrow r = 3$
   অতএব, $\alpha^5$ এর সহগ = $\binom{10}{3} 2^{10-3} R^3 = \binom{10}{3} 2^7 R^3$

   $\alpha^{15}$ এর সহগের জন্য:
   $20 - 5r = 15 \Rightarrow 5r = 5 \Rightarrow r = 1$
   অতএব, $\alpha^{15}$ এর সহগ = $\binom{10}{1} 2^{10-1} R^1 = \binom{10}{1} 2^9 R$

   শর্তানুসারে,
   $\binom{10}{3} 2^7 R^3 = \binom{10}{1} 2^9 R$
   $\Rightarrow \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \cdot 2^7 R^3 = 10 \cdot 2^9 R$
   $\Rightarrow 120 \cdot 2^7 R^3 = 10 \cdot 4 \cdot 2^7 R$
   $\Rightarrow 120 R^3 = 40 R$

   যেহেতু $R \neq 0$ (বিস্তৃতির জন্য):
   $120 R^2 = 40$
   $\Rightarrow R^2 = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$
   $\Rightarrow R = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।

   নির্ণেয় মান: $R = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।