উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত নমুনাক্ষেত্র S নিম্নরূপ:

   S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

   এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S) = 2^3 = 8$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রশ্নটিতে 'ও অথবা 5 এর গুণিতক' মুদ্রণটি ঢাকা বোর্ড ২০১৭-এর মূল প্রশ্নে '3 অথবা 5 এর গুণিতক' ছিল।

   দেওয়া আছে, S = {1, 2, 3, ..., 50}।
   মোট উপাদান সংখ্যা, n(S) = 50।

   ধরি,
   A = 3 এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48}
   এখানে, n(A) = [50/3] = 16।

   B = 5 এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
   এখানে, n(B) = [50/5] = 10।

   A ∩ B = 3 ও 5 এর গুণিতক (অর্থাৎ 15 এর গুণিতক) হওয়ার ঘটনা = {15, 30, 45}
   এখানে, n(A ∩ B) = [50/15] = 3।

   অতএব, 3 অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সংখ্যা:
   n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 16 + 10 - 3 = 23।

   সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা P(A ∪ B) = n(A ∪ B) / n(S) = 23/50।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $S$ এর জোড় সংখ্যাগুলি হলো:
   $2, 4, 6, 8, \ldots, 50$

   এখানে মোট পদের সংখ্যা, $n = 25$।
   পদগুলি একটি সমান্তর ধারা গঠন করে যার প্রথম পদ $a = 2$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 2$।
   সংখ্যাগুলোকে লেখা যায়: $x_i = 2i$, যেখানে $i = 1, 2, \ldots, 25$।

   গড়,
   $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 \sum i}{25}$
   $= \frac{2 \cdot \left[\frac{25 \cdot 26}{2}\right]}{25} = 26$।

   বর্গের সমষ্টি,
   $\sum x_i^2 = \sum (2i)^2 = 4 \sum i^2$
   $= 4 \cdot \frac{25 \cdot (25 + 1) \cdot (2 \cdot 25 + 1)}{6}$
   $= 4 \cdot \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6}$
   $= 4 \cdot 5525 = 22100$।

   অতএব, ভেদাংক (Variance),
   $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$
   $= \frac{22100}{25} - 26^2$
   $= 884 - 676$
   $= 208$।

   সুতরাং, জোড় সংখ্যাগুলির ভেদাংক হলো 208।