উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ∫ ln x dx
   ইউ-ভি (integration by parts) পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
   = ln x ∫ 1 dx - ∫ [(d/dx ln x) * (∫ 1 dx)] dx
   = x ln x - ∫ [(1/x) * x] dx
   = x ln x - ∫ 1 dx
   = x ln x - x + c
   = x(ln x - 1) + c, যেখানে c একটি সমাকলন ধ্রুবক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = x²
   সুতরাং, √f(x) = √(x²) = x (যেহেতু x > 0)

   প্রদত্ত যোগজ, I = ∫ dx / [f(x) (√f(x) + 1)] = ∫ dx / [x² (x + 1)]

   আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
   1 / [x²(x + 1)] = A/x + B/x² + C/(x + 1)
   বা, 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx²

   x = 0 বসিয়ে: B(1) = 1 ⇒ B = 1
   x = -1 বসিয়ে: C(-1)² = 1 ⇒ C = 1
   x² এর সহগ সমীকৃত করে: A + C = 0 ⇒ A = -C = -1

   অতএব, 1 / [x²(x + 1)] = -1/x + 1/x² + 1/(x + 1)

   সুতরাং,
   I = ∫ (-1/x + 1/x² + 1/(x + 1)) dx
   = -ln|x| - 1/x + ln|x + 1| + c
   = ln|(x + 1)/x| - 1/x + c, যেখানে c একটি সমাকলন ধ্রুবক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ $y = f(x) = x^2$ ... (1)
   এবং সরলরেখার সমীকরণ $x - y = 0 \Rightarrow y = x$ ... (2)

   (1) ও (2) সমাধান করে পাই,
   $x^2 = x$
   বা, $x^2 - x = 0$
   বা, $x(x - 1) = 0$
   অতএব, $x = 0, 1$।

   $x = 0$ হলে $y = 0$ এবং $x = 1$ হলে $y = 1$।
   সুতরাং ছেদবিন্দুসমূহ $(0, 0)$ এবং $(1, 1)$।

   আবদ্ব অঞ্চলের সীমার মধ্যে ($0 \le x \le 1$), রেখা $y = x$ টি পরাবৃত্ত $y = x^2$ এর উপরে অবস্থান করে।

   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = $\int_0^1 (y_{\text{line}} - y_{\text{curve}}) dx$
   $= \int_0^1 (x - x^2) dx$
   $= \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1$
   $= \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - 0$
   $= \frac{1}{6}$ বর্গ একক। (দেখানো হলো)