উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

   অতএব, $A$-এর বিম্ব ম্যাট্রিক্স (Transpose matrix):
   $A^T = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$

   সুতরাং,
   $A + A^T = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$
   $= \begin{pmatrix} 3+3 & -1+2 \\ 2+(-1) & -4+(-4) \end{pmatrix}$
   $= \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 1 & -8 \end{pmatrix}$

   নির্ণেয় মান: $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 1 & -8 \end{pmatrix}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

   নির্ণায়ক $|A|$ এর মান:
   $|A| = 3(1 - 0) - (-4)(-2 - 0) + 2(2 - (-1))$
   $= 3(1) + 4(-2) + 2(2 + 1)$
   $= 3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$
   যেহেতু $|A| \neq 0$, তাই $A^{-1}$ বিদ্যমান।

   $A$-এর উপাদানগুলোর সহগুণকসমূহ (Cofactors):
   $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
   $A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$
   $A_{13} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (2 - (-1)) = 3$
   $A_{21} = -\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-4 - (-2)) = -(-4 + 2) = 2$
   $A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - (-2) = 5$
   $A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 4) = 7$
   $A_{31} = +\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
   $A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-4)) = -4$
   $A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5$

   অতএব, $A$-এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix):
   $\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -2 & -4 & -5 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

   অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স:
   $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

   নির্ণেয় মান: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} x & 2 & -2 \\ y & 5 & -4 \\ z & 7 & -5 \end{bmatrix}$

   প্রদত্ত শর্তানুসারে, $AB = I_3$
   $\Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 2 & -2 \\ y & 5 & -4 \\ z & 7 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

   উভয়পক্ষের প্রথম কলাম গুণ করে সমীকৃত করে পাই:
   $3x - 4y + 2z = 1$
   $-2x + y + 0z = 0$
   $-x - y + z = 0$

   ক্রেমারের নিয়ম প্রয়োগের জন্য নির্ণায়কসমূহের মান বের করি:
   $D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
   $D = 3(1 - 0) - (-4)(-2 - 0) + 2(2 - (-1)) = 3 - 8 + 6 = 1$

   $D_x = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
   প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে:
   $D_x = 1(1 - 0) - 0 + 0 = 1$

   $D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
   দ্বিতীয় কলাম বরাবর বিস্তার করে:
   $D_y = -1(-2 - 0) = 2$

   $D_z = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$
   তৃতীয় কলাম বরাবর বিস্তার করে:
   $D_z = 1(2 - (-1)) = 3$

   ক্রেমারের সূত্রানুসারে:
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{1} = 2$
   $z = \frac{D_z}{D} = \frac{3}{1} = 3$

   নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$