উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $F$ মানের দুইটি সমান বল $60^\circ$ কোণে ক্রিয়া করে।
   তাদের লব্ধির মান,
   $R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cos 60^\circ} = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F^2} = \sqrt{3}F$
   যেহেতু বলদ্বয় $3\sqrt{3}\text{ N}$ বলের সাথে ভারসাম্য সৃষ্টি করে, তাই এদের লব্ধি উক্ত বলের সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
   অতএব, $R = 3\sqrt{3}\text{ N}$
   বা, $\sqrt{3}F = 3\sqrt{3}$
   বা, $F = 3\text{ N}$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, $\Delta ABC$ এর অন্তঃকেন্দ্র $I$-তে $P_1, P_2, P_3$ বলত্রয় যথাক্রমে $IA, IB, IC$ বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
   এখানে, $IA, IB, IC$ হলো যথাক্রমে $\angle A, \angle B, \angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক।
   অতএব, $\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB) = 180^\circ - \left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right) = 180^\circ - \frac{B+C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}$
   অনুরূপভাবে, $\angle CIA = 90^\circ + \frac{B}{2}$ এবং $\angle AIB = 90^\circ + \frac{C}{2}$।
   লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{P_1}{\sin \angle BIC} = \frac{P_2}{\sin \angle CIA} = \frac{P_3}{\sin \angle AIB}$
   বা, $\frac{P_1}{\sin(90^\circ + A/2)} = \frac{P_2}{\sin(90^\circ + B/2)} = \frac{P_3}{\sin(90^\circ + C/2)}$
   বা, $\frac{P_1}{\cos(A/2)} = \frac{P_2}{\cos(B/2)} = \frac{P_3}{\cos(C/2)}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, একটি বস্তুর $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে এবং তাদের লব্ধি $P+Q$ রেখাংশের $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং, সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
   $P \cdot AC = Q \cdot BC$
   বা, $P \cdot AC = Q (AB - AC)$
   বা, $(P + Q) AC = Q \cdot AB$
   $\therefore AC = \frac{Q}{P+Q} AB$ ... (১)

   এখন, $P$ বলটিকে সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে $Q$ বলের দিকে $b$ দূরত্বে অর্থাৎ $A'$ বিন্দুতে সরানো হলো, যেখানে $AA' = b$।
   ফলে লব্ধি $C$ থেকে $C'$ বিন্দুতে সরে যায়।
   নতুন অবস্থানে সাম্যাবস্থার শর্তানুযায়ী,
   $P \cdot A'C' = Q \cdot BC'$
   বা, $P \cdot A'C' = Q (A'B - A'C')$
   বা, $(P + Q) A'C' = Q \cdot A'B$
   $\therefore A'C' = \frac{Q}{P+Q} A'B = \frac{Q}{P+Q} (AB - b)$ ... (২)

   ধরি, লব্ধির সরণ $CC' = x$।
   চিত্রানুযায়ী, $AC' = AC + x = AA' + A'C' = b + A'C'$
   বা, $x = b + A'C' - AC$
   (১) ও (২) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে পাই,
   $x = b + \frac{Q}{P+Q}(AB - b) - \frac{Q}{P+Q} AB$
   বা, $x = b - \frac{Q \cdot b}{P+Q} = \frac{(P + Q)b - Qb}{P + Q} = \frac{Pb}{P+Q}$
   অতএব, লব্ধিরেখা $\frac{Pb}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যায়। (দেখানো হলো)