উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), 'অন্তঃকেন্দ্র' (incenter) is assumed to be a clerical/board typographical error for 'ভরকেন্দ্র' (centroid), which is the standard textbook problem; solutions for both interpretations are provided. | In part (ka), the angle $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ is taken in the principal range $[0, \pi]$, i.e., 60°, with the clockwise possibility (±60°) noted.

   ধরি, সরলরেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।
   এখানে, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 60^\circ$ (বা $\frac{\pi}{3}$)
   অতএব, রেখাটির ঢাল, $m = \tan\theta = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$
   যেহেতু রেখাটি মূলবিন্দুগামী, সুতরাং এর সমীকরণ:
   $y = mx$
   $\Rightarrow y = \sqrt{3}x$
   $\Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$
   [নোট: ঘড়ির কাঁটার দিকে কোণ বিবেচনা করলে $\theta = -60^\circ$ হতে পারে, সেক্ষেত্রে রেখাটির সমীকরণ হবে $\sqrt{3}x + y = 0$; অর্থাৎ $y = \pm\sqrt{3}x$ বা $\sqrt{3}x \mp y = 0$]।
   উত্তর: $\sqrt{3}x - y = 0$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), 'অন্তঃকেন্দ্র' (incenter) is assumed to be a clerical/board typographical error for 'ভরকেন্দ্র' (centroid), which is the standard textbook problem; solutions for both interpretations are provided. | In part (ka), the angle $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ is taken in the principal range $[0, \pi]$, i.e., 60°, with the clockwise possibility (±60°) noted.

   $A(8, 6)$ এবং $B(-7, -2)$ বিন্দুগামী রেখা $AB$-এর ঢাল:
   $m_{AB} = \frac{-2 - 6}{-7 - 8} = \frac{-8}{-15} = \frac{8}{15}$

   সুতরাং $AB$ রেখার সমীকরণ:
   $y - 6 = \frac{8}{15}(x - 8)$
   $\Rightarrow 15y - 90 = 8x - 64$
   $\Rightarrow 8x - 15y + 26 = 0$ ... (1)

   $AB$ রেখার উপর লম্ব এবং $P(1, 1)$ বিন্দুগামী রেখা $PD$-এর সমীকরণ:
   $15x + 8y + k = 0$
   যেহেতু রেখাটি $P(1, 1)$ বিন্দুগামী:
   $15(1) + 8(1) + k = 0 \Rightarrow k = -23$
   সুতরাং $PD$ রেখার সমীকরণ:
   $15x + 8y - 23 = 0$ ... (2)

   এখন, (1) ও (2) সমীকরণ সমাধান করে পাদবিন্দু $D$-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
   $(1) \times 8 \Rightarrow 64x - 120y = -208$
   $(2) \times 15 \Rightarrow 225x + 120y = 345$
   যোগ করে পাই,
   $289x = 137 \Rightarrow x = \frac{137}{289}$

   আবার, $(1) \times 15 \Rightarrow 120x - 225y = -390$
   $(2) \times 8 \Rightarrow 120x + 64y = 184$
   বিয়োগ করে পাই,
   $-289y = -574 \Rightarrow y = \frac{574}{289}$

   অতএব, লম্বের পাদবিন্দু $D$-এর স্থানাঙ্ক $D\left(\frac{137}{289}, \frac{574}{289}\right)$।

   এখন, $P(1, 1)$ ও $D\left(\frac{137}{289}, \frac{574}{289}\right)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $PD = \sqrt{\left(1 - \frac{137}{289}\right)^2 + \left(1 - \frac{574}{289}\right)^2}$
   $= \sqrt{\left(\frac{152}{289}\right)^2 + \left(\frac{-285}{289}\right)^2}$
   $= \frac{1}{289} \times \sqrt{152^2 + 285^2}$
   $= \frac{1}{289} \times \sqrt{(19 \times 8)^2 + (19 \times 15)^2}$
   $= \frac{19}{289} \times \sqrt{8^2 + 15^2}$
   $= \frac{19}{289} \times \sqrt{64 + 225}$
   $= \frac{19}{289} \times \sqrt{289}$
   $= \frac{19 \times 17}{289}$
   $= \frac{19}{17}$ একক। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), 'অন্তঃকেন্দ্র' (incenter) is assumed to be a clerical/board typographical error for 'ভরকেন্দ্র' (centroid), which is the standard textbook problem; solutions for both interpretations are provided. | In part (ka), the angle $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ is taken in the principal range $[0, \pi]$, i.e., 60°, with the clockwise possibility (±60°) noted.

   ধরি, $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
   ত্রিভুজটির অপর দুটি শীর্ষবিন্দু $A(8, 6)$ এবং $B(-7, -2)$।

   [অনুধাবন ও সংশোধন নোট: উচ্চমাধ্যমিক পাঠ্যক্রমে শীর্ষবিন্দু ও 'ভরকেন্দ্র' সংক্রান্ত প্রশ্নটি আদর্শ। প্রশ্নে উল্লিখিত 'অন্তঃকেন্দ্র' শব্দটি সম্ভবত 'ভরকেন্দ্র'-এর করণিক বা মুদ্রণজনিত ভুল। নিচে বহুল প্রচলিত 'ভরকেন্দ্র' বিবেচনায় পূর্ণ সমাধান এবং আক্ষরিক 'অন্তঃকেন্দ্র' সংক্রান্ত বিশ্লেষণ উভয়ই উপস্থাপন করা হলো]:

   (১) 'ভরকেন্দ্র' (Centroid) বিবেচনায়:
   ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র $G\left(\frac{1}{12}, \frac{1}{18}\right)$ হলে,
   x-স্থানাঙ্ক:
   $\frac{8 - 7 + x}{3} = \frac{1}{12}$
   $\Rightarrow \frac{1 + x}{3} = \frac{1}{12}$
   $\Rightarrow 1 + x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
   $\Rightarrow x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

   y-স্থানাঙ্ক:
   $\frac{6 - 2 + y}{3} = \frac{1}{18}$
   $\Rightarrow \frac{4 + y}{3} = \frac{1}{18}$
   $\Rightarrow 4 + y = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
   $\Rightarrow y = \frac{1}{6} - 4 = -\frac{23}{6}$

   অতএব, ভরকেন্দ্র বিবেচনায় $C$-এর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{3}{4}, -\frac{23}{6}\right)$।

   (২) প্রশ্নে প্রদত্ত 'অন্তঃকেন্দ্র' (Incenter) আক্ষরিক বিবেচনায়:
   যদি $I\left(\frac{1}{12}, \frac{1}{18}\right)$ ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র হয়, তবে $AI$ এবং $BI$ যথাক্রমে $\angle A$ এবং $\angle B$-এর সমদ্বিখণ্ডক।

   • $AI$ রেখার ঢাল ও $AB$ রেখার ঢাল থেকে কোণ দ্বিখণ্ডকের সূত্রের সাহায্যে $AC$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করা যায়।
   • একইভাবে, $BI$ রেখার ঢাল ও $AB$ রেখার ঢাল থেকে $BC$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করা যায়।
   • অতঃপর $AC$ এবং $BC$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুই হবে শীর্ষবিন্দু $C$।