উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 5x}{3x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{5x}{2}\right)}{3x^2}$
   $= \frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sin\left(\frac{5x}{2}\right)}{\frac{5x}{2}} \right]^2 \times \left(\frac{5}{2}\right)^2$
   $= \frac{2}{3} \times (1)^2 \times \frac{25}{4}$
   $= \frac{2}{3} \times \frac{25}{4}$
   $= \frac{25}{6}$

   নির্ণেয় মান: $\frac{25}{6}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(\theta) = \cos\theta$
   সুতরাং, $F(\theta) = f(3\theta) = \cos(3\theta)$

   মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
   $\frac{d}{d\theta}[F(\theta)] = \lim_{h \to 0} \frac{F(\theta + h) - F(\theta)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(3(\theta + h)) - \cos(3\theta)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(3\theta + 3h) - \cos(3\theta)}{h}$

   আমরা জানি, $\cos C - \cos D = 2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{D-C}{2}\right)$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\left(\frac{3\theta + 3h + 3\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{3\theta - (3\theta + 3h)}{2}\right)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\left(3\theta + \frac{3h}{2}\right)\sin\left(-\frac{3h}{2}\right)}{h}$
   $= -\lim_{h \to 0} \sin\left(3\theta + \frac{3h}{2}\right) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2}} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2}$
   $= -\sin(3\theta + 0) \cdot 1 \cdot 3$
   $= -3\sin(3\theta)$

   অতএব, $f(3\theta)$ এর মূল নিয়মে অন্তরজ হলো $-3\sin(3\theta)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = p^2 e^{mx} - q^2 e^{-mx}$ যেখানে $p, q, m > 0$

   $x$-এর সাপেক্ষে পর পর দুইবার অন্তরীকরণ করে পাই,
   $g'(x) = m p^2 e^{mx} + m q^2 e^{-mx} = m(p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx})$
   $g''(x) = m^2 p^2 e^{mx} - m^2 q^2 e^{-mx} = m^2(p^2 e^{mx} - q^2 e^{-mx})$

   চরম মানের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত:
   $g'(x) = 0$
   বা, $m(p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx}) = 0$

   যেহেতু $p, q, m > 0$ এবং বাস্তব $x$-এর জন্য $e^{mx} > 0, e^{-mx} > 0$,
   সুতরাং $p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx} > 0$ এবং $m > 0$।
   ফলে, $g'(x) = m(p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx}) > 0$ (সর্বদাই ধনাত্মক)।

   অতএব, বাস্তব মানের জন্য $g'(x) = 0$ হওয়া সম্ভব নয়।
   সুতরাং, $g(x)$-এর কোনো বাস্তব চরম মান (গুরুমান বা লঘুমান) নেই।